Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.WSPÓŁRZĘDNEKARTEZJAŃSKIENAPŁASZCZYŹNIE
sięmiarąstopniową00≤
α
<3600.PunktowiOprzyporządkowujemyparęliczb
(0,0).KażdemupunktowiAróżnemuodOprzyporządkowujemyparęliczb(
ρ
,
α
),
przyczym
ρ
>0,0≤
α
<2
π
(rys.1.3).Każdejtakiejparzeliczbodpowiadadokładnie
jedenpunkt.Skonstruujemygownastępującysposób.NajpierwprzypółprostejOX
odkładamykątomierze
α
,któregowierzchołkiemjestpunktO,apierwszymramie-
niem-półprostaOX.Następnienadrugimramieniutegokątaodmierzamyodcinek
OAodługości
ρ
.Naprzykładpunktowspółrzędnychkartezjańskich(1,1)ma
współrzędnebiegunowe
⎛
⎜
⎝
27
π
4
⎞
⎟
⎠
,apunktowspółrzędnychbiegunowych
⎛
⎜
⎝
27
3
2
π
⎞
⎟
⎠
mawspółrzędnekartezjańskie(0,-2).
Rysunek1.3
Opiszemyterazzależnośćmiędzywspółrzędnymibiegunowymiawspółrzędnymi
kartezjańskimidowolnegopunktuPróżnegoodpunktu(0,0).Jeśliliczby
ρ
,
α
są
współrzędnymibiegunowymipunktuP,toliczby
x
=
ρ
cos,
α
y
=
ρ
sin
α
sąwspółrzędnymikartezjańskimipunktuP.Jeślizaśznamywspółrzędne(x,y)da-
negopunktu,toliczby
ρ
i
α
spełniającezwiązki
ρ
=
x
2
+
y
2,cos
α
=
ρ
x
,sin
α
=
ρ
y
sąwspółrzędnymibiegunowymipunktuP.
Opisywaniepunktówpłaszczyznyzapomocąwspółrzędnychumożliwiasprowa-
dzeniewieluzagadnieńgeometrycznychdowykonaniaodpowiednichrachunkówna
współrzędnychpunktów.
11
Przykład1.1.WyznaczymytepunktypłaszczyznyP=(x,y),którychwspółrzęd-
nespełniająrównaniex
2+y2=0.
Ponieważkwadratkażdejliczbyrzeczywistejjestliczbąwiększąlubrówną0,
więcjedynymrozwiązaniemdanegorównaniajestparaliczbx=0,y=0,
tj.współrzędnejedyniepunktuP=(0,0)spełniajątorównanie.
