Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
I.METODAANALITYCZNAGEOMETRII
Przykład1.2.WyznaczymyzbiórtychpunktówpłaszczyznyP=(x,y),których
współrzędnespełniająrównanie|x|=|y|.
Danerównaniejestrównoważnealternatywie:y=xluby=-x.Zbiórpunktów,
którychwspółrzędnespełniająjednoztychrównańjestprostą.Zatemalternatywę
tychrównańspełniająpunktysumyprostychorównaniachy=x,y=–x.
ObliczymyterazodległośćPQdowolnychdwóchpunktówPiQpłaszczyzny.
TWIERDZENIE1.1.JeśliP=(x1,y1),Q=(x2,y2),toPQ=
(
x
1
−
x
2
)
2
+
(
y
1
−
y
2
)
2
i
Dowód.Rozważymytrzyprzypadki:
1.y1=y2.WtedypunktyPiQleżąnaprostejrównoległejdoosiodciętych,więc
ichodległośćjestrównaodległościichrzutówprostokątnychnatęoś,
tj.PQ=|x1-x2|=
(
x
1
−
x
2
)
2
+
(
y
1
−
y
2
)
2
,boy1-y2=0.
2.x1=x2.Podobniejakpoprzednio,punktyleżąnaprostejrównoległejdoosi
rzędnych,więcichodległośćjestrównaodległościichrzutówprostokątnychna
tęoś,tj.PQ=|y1-y2|=
(
x
1
−
x
2
)
2
+
(
y
1
−
y
2
)
2
,box1-x2=0.
3.x1≠x2iy1≠y2.RozważmypunktR=(x2,y1).TrójkątPQRjestprostokątny,
przyczymRjestwierzchołkiemkątaprostego(rys.1.4).
Rysunek1.4
WobectegonamocytwierdzeniaPitagorasaPQ
2=PR2+QR2.PunktyPiR
mająrównedrugiewspółrzędne,więc,podobniejakwprzypadku1.,PR=|x1-x2|,
punktyQiRmająrównepierwszewspółrzędne,więctakjakwprzypadku2.,
QR=|y1-y2|.
=
(
x
1
−
x
2
)
2
+
(
Zatem
y
1
−
y
2
)
2
.
PQ
2=PR2+QR2=(x
1-x2)
2+(y
1-y2)
2.
Stąd
PQ=
