Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.FUNKCJAZŁOŻONA,FUNKCJAODWROTNA
1.30.Zbadaćczydanafunkcjamamiejscazeroweiznaleźćje:
a)f(x):x295x;4;
d)i(x):xs94x2;x;6;
b)g(x):sin2
(
x;
π
6
)
;
e)v(x):log
4
(
x293x;
9
4
)
;
c)h(x):
x2;x96
1
;
f)w(x):(3
lxl
9891.
19
2.Funkcjazłożona,funkcjaodwrotna
Wpewnychsytuacjachtrzebazastosowaćkolejnodwiefunkcjelubnawetwięcej
funkcji.Funkcjęokreślonąwzoremh(x):(2x;1możemyopisaćnastępująco:
najpierwliczbiexprzyporządkowujemyliczbę2x;1,anastępnietejliczbie
przyporządkowujemyjejpierwiastek.Niemożemyjednakzrobićtegodladowol-
negox,gdyżmusibyćspełnionywarunek2x;1.0,tj.2x.91,x.9
1
.
2
Jeśliwięcprzyjmiemyf(x):2x;1dlax.9
1
2
,g(x):(xdlax.0,tomożemy
napisaćh(x):g(f(x)).
Przypuśćmy,żedanesądwiefunkcjef:X;Yig:Y
1
;ZiY3Y
1
.
DEFINICJA
Funkcjązłożonągf(lubg᭺f)nazywamytakąfunkcjęh:X;Z,którakażdemu
elementowix+Xprzyporządkowujeelementg(f(x)).Funkcjęfnazywamy
wtymprzypadkufunkcjąwewnętrzną,funkcjęg–funkcjązewnętrzną.
Funkcjęzłożonąf᭺gmożnazilustrowaćnaschemacie:
x
;
f
f(x)
;
g
g(f(x))
Przykład2.1.Wprzykładzieomówionymwyżejfunkcjah(x):(2x;1jest
złożeniemfunkcjif(x):2x;1dlax.9
1
2
orazg(x):(xdlax.0;funkcja
fjestfunkcjąwewnętrzną,g–funkcjązewnętrzną.
Przykład2.2.Funkcjaokreślonawzoremh(x):sin(tgx)jestzłożeniemfunkcji
f(x):tgx(funkcjawewnętrzna)ig(x):sinx(funkcjazewnętrzna).Dziedzina
funkcjizłożonejjestidentycznazdziedzinąfunkcjiwewnętrznej,tj.składasię
zewszystkichliczbrzeczywistychróżnychod
π
;kπ(k–dowolnaliczba
2
całkowita).
