Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.FUNKCJAZŁOŻONA,FUNKCJAODWROTNA
DEFINICJA
Jeślifunkcjaf:X;YjestróżnowartościowaiodwzorowujeXnaY,toistnieje
funkcjag:Y;X,taka,żeg᭺f:I
dofunkcjif.Najejoznaczeniepiszemyczasemg:f\1.
X
.Funkcjęgnazywamyfunkcjąodwrotną
21
Przykład2.6.Znajdziemyfunkcjęodwrotnądofunkcjiliniowejf(x):92x;3.
Funkcjaodwrotnaistnieje,gdyżdanafunkcjaodwzorowujezbiórRnaRijest
różnowartościowa.Należywyjaśnić,jakawartośćxprzechodziprzydanejfunkcji
nakonkretnąwartośćy.Zzależnościy:92x;3należywięcwyznaczyćx.
Przekształcamy:2x:9y;3,x:9
1
y;
3
.Ponieważjednakmamyzwyczaj
2
2
funkcjęliczbowązapisywaćtak,byargumentfunkcjioznaczaćliterąx,awartość
–literąy,więcwostatnimwzorzezamieniamyrolamixorazy,otrzymującwzór
g(x):9
1
x;
3
.Możemysprawdzić,czyistotniefunkcjagjestfunkcją
2
2
odwrotnądof.Funkcjazłożonag᭺fpowinnabyćidentycznością.Obliczmy:
g(f(x)):9
1
(92x;3);
3
:x9
3
;
3
:x.Istotnieotrzymaliśmyfunkcję
2
2
2
2
identycznościową,codowodzi,żegjestfunkcjąodwrotnądof.
Przykład2.7.Funkcjakwadratoway:x2jestokreślonawzbiorzeR,aleniejest
wtymzbiorzeróżnowartościowa,więcnieistniejedlaniejfunkcjaodwrotna.Jeśli
jednakrozważymyfunkcjęfokreślonąwzbiorzeliczbnieujemnych10,
;-)
wzoremf(x):x2,tootrzymamyfunkcjęróżnowartościową,odwzorowującą
10,;-)na10,;-).Istotnie,jeślix
x
albox
Ponadtokażdaliczbanieujemnayjestobrazempewnejliczbyx,mianowicie
2:x
1
2,tox
2
1
;x
2
29x
1
90,więcx
2:0,więc(x
2
1
9x
2
1
:0.Wkażdymprzypadkumamyx
9x
1
2
)(x
ix
2
1
sątakimiliczbaminieujemnymi,że
;x
2
):0,skądalbox
1
:x
1
2
:x
:0,
2
.
zależnośćy:x2jestdlaliczbnieujemnychrównoważnazależnościx:(y.
Wykazaliśmywtensposób,żedlafunkcjiffunkcjąodwrotnąjestfunkcja
g(x):(x.Jednocześniefunkcjąodwrotnądlagjestfunkcjaf.
Przykład2.8.Ograniczającdziedzinęfunkcjif(x):x2doprzedziału(9-,02,
równieżotrzymamyfunkcjęróżnowartościowąprzekształcającątenprzedziałna
przedział10,;-).Wobectegoidlatejfunkcjiistniejefunkcjaodwrotna;jestnią
funkcjag(x):9(xokreślonadlax+10,
;-).
Przykład2.9.Dlaustalonejliczbydodatnieja"1rozważmyfunkcjęwykład-
nicząf(x):axokreślonąwR.Funkcjataprzyjmujewartościdodatnie.Zależność
y:axjestrównoważnazależnościx:log
funkcjąodwrotnądofunkcjiwykładniczejf(x):ax.
a
y,azatemfunkcjag(x):log
a
xjest
