Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3•dowódprzezindukcjęmatematyczną
Wielokropekn…”nazywamyelipsą.Sugerujeonschemat,którypo-
winienbyćoczywistydlaczytelnika.Aleoczywistośćmieszkawumyśle
patrzącegoibyćmożeniezgadzasięzintencjamiautora.Gdybyśmy
dysponowalijedyniewzorem
1+2+4+...+512,
(3.1)
toczyjestoczywiste,jakiewyrażeniaominęliśmy,anawetileichbyło?
Niebardzo.Wcześniejmówiliśmy,żerozważamysumypotęgdwójki,
alegdybyśmymielijedyniewzór(3.1),toistniałbywięcejniżjeden
sposóbekstrapolacjibrakującychskładników.Byćmożechodzioto,
żedrugiskładnikjestojedenwiększyodpierwszego,trzeci-odwa
większyoddrugiegoitakdalej?Wtakimwypadkuczwartyskładnik
byłbyotrzywiększyodtrzeciego,czylirównałbysię7.Wtedybyłbyto
1+2+4+7+11+16+...+512???
anie
1+2+4+8+16+32+...+512.
(3.2)
Pewnegowysiłkuwymagaustalenie,czy512mogłobybyćostatnim
składnikiemciąguokreślonegotakjak(3.2)(patrzzadanie3.10).
Sposobemnauniknięciedwuznacznościwpodobnychsytuacjach
jestznalezieniesposobuzapisutypowegowyrazuciąguiużyciennota-
cjisumy”dlapokazania,jakiewyrażeniadosiebiedodajemy.Typowa
potęgadwójkiwyglądatak:2
i
-musimywybraćzmiennąinnąniż
ndlawykładnika,ponieważnużywamyjużdooznaczenialiczby
dodawanychdosiebieskładników.Sumępierwszychnwyrazówtej
postacimożemywtedyjednoznaczniezapisaćwsposóbnastępujący:
Σ
n11
i=0
2i.
(3.3)
SymbolΣtogreckawielkaliterasigma,oznaczającansumę”
.
Wprzeciwieństwiedonotacjizelipsą,notacjasumyniezostawia
nicdlawyobraźni.Masensnawetwprzypadkun=1czyn=0.Gdy
n=1,(3.3)przyjmujepostać
Σ
111
i=0
2i=
Σ
i=0
0
2i=20=1,
czylisumyzłożonejzjednegowyrazu.Gdyn=0,górneograniczenie
sumowaniajestmniejszeoddolnego,więc(3.3)stajesięsumą0wy-
razów,czyliumowniejestrówne0:
Σ
011
i=0
2i=
Σ
i=0
11
2i=pustasuma=0.
29
