Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
36
1.Zbiory,ciągiifunkcje
(a)WypiszlubnarysujwszystkieparyuporządkowanezezbioruA×A.
(b)WypiszlubnarysujwszystkieparyuporządkowanezezbioruA×B.
(c)Wypiszlubnarysujelementyzbioru{(x,y)∈A×B:x=y}.
12.NiechS={0,1,2,3,4}iniechT={0,2,4}.
(a)IleparuporządkowanychnależydozbioruS×T,ailedozbioru
T×S?
(b)Wypiszlubnarysujelementyzbioru{(m,n)∈S×T:m<n}.
(c)Wypiszlubnarysujelementyzbioru{(m,n)∈T×S:m<n}.
(d)Wypiszlubnarysujelementyzbioru{(m,n)∈S×T:m+n≥3}.
(e)Wypiszlubnarysujelementyzbioru{(m,n)∈T×S:mn≥4}.
(f)Wypiszlubnarysujelementyzbioru{(m,n)∈S×S:m+n=10}.
13.Wypiszelementytychspośródnastępującychzbiorów,któremają
mniejniżsiedemelementów.Dlawiększychzbiorówwypiszdokład-
niesiedemelementówdanegozbioru.
(a){(m,n)∈N
2:m=n},
(b){(m,n)∈N
2:liczbam+njestpierwsza},
(c){(m,n)∈P
2:m=6},
(d){(m,n)∈P
2:min{m,n}=3},
(e){(m,n)∈P
2:max{m,n}=3},
(f){(m,n)∈N
2:m2=n}.
14.NarysujdiagramVennadlaczterechzbiorówA,B,CiD.Zadbajoto,
bybyłnarysowanykażdyzszesnastuobszarów,takichjaknaprzykład
AnBcnCcnD.
Uwaga.Wpozostałychćwiczeniachmożeszobraćdowolnąmetodędo-
wodu.
15.Dlakażdegoznastępującychzdańudowodnijjelubwykaż,żejestono
fałszywe.(Dowódwymagarozumowaniaogólnego,alejedenkontrprzy-
kładwystarczydowykazania,żezdaniejestfałszywe.)
(a)AnB=AnCimplikujeB=C.
(b)A∪B=A∪CimplikujeB=C.
(c)AnB=AnCiA∪B=A∪CimplikująB=C.
(d)A∪B⊆AnBimplikujeA=B.
(e)A⊕B=A⊕CimplikujeB=C.
16.(a)Udowodnij,żeA⊆Bwtedyitylkowtedy,gdyA∪B=B.Oznacza
to,żemusiszudowodnićdwazdania:„A⊆BimplikujeA∪B=B”
i„A∪B=BimplikujeA⊆B”.
(b)Udowodnij,żeA⊆Bwtedyitylkowtedy,gdyAnB=A.
17.(a)Udowodnij,żeodejmowaniezbiorówniejestdziałaniemprzemien-
nym,tzn.możeniebyćprawdziwarównośćA\B=B\A.
(b)Udowodnij,żeodejmowaniezbiorówniejestdziałaniemłącznym,
tzn.równość(A\B)\C=A\(B\C)możeniebyćprawdziwa.
(c)Wykażjednakże,że(A\B)\C⊆A\(B\C)dladowolnychzbiorów
A,BiC.
