Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§1.3.Funkcje
45
((hog)of)(x)=(hog)(f(x))zdefinicji(hog)of
=h(g(f(x)))
zdefinicjihog
=x8+73
dokładnietakjakwyżej.
Stądwynika,że
(ho(gof))(x)=((hog)of)(x)=x8+73dlawszystkichx∈R,
zatemfunkcjeho(gof)i(hog)ofsąrówne.Toniejestprzypadek,
jakpokazujenastępneogólnetwierdzenie.
Łączność
złożenia
funkcji
Weźmyfunkcjef:S−
→T,g:T−
→Uih:U−
→V.Wtedy
ho(gof)=(hog)of.
Dowódtegopodstawowegofaktusprowadzasiędosprawdze-
nia,żeobiefunkcjeho(gof)i(hog)ofprzekształcajązbiór
SwzbiórVorazżetakjakwprzykładzie6,dlakażdegox∈S
wartości(ho(gof))(x)i((hog)of)(x)sąrówneh(g(f(x))).
Ponieważzłożeniefunkcjijestłączne,więcmożemypisać
hogofbeznawiasówinieprowadzitodonieporozumień.Mo-
żemyrównieżzapisaćzłożeniedowolnejskończonejliczbyfunkcji
nieużywającnawiasów.
PRZYKŁAD7
(a)Jeślif(x)=x4dlax∈[0,∞),g(x)=√x+2dla
x∈[0,∞)orazh(x)=x2+1dlax∈R,to
hogof(x)=h(g(x4))=h(x4+2)=(x4+2)+1
=x4+3dlax∈[0,∞),
fogoh(x)=f(g(x2+1))=f(x2+1+2)
=(x2+3)2dlax∈R,
fohog(x)=f(h(√x+2))=f(x+2+1)
=(x+3)4
dla
x∈[0,∞).
(b)FunkcjaFdanawzorem
F(x)=(x2+1+3)5
dlax∈R
możebyćzapisanajakofunkcjakohogof,gdzie
f(x)=x2+1
dlax∈R,
g(x)=√x
dlax∈[0,∞),
h(x)=x+3
dlax∈R,
k(x)=x5
dlax∈R.
