Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
§1.3.Funkcje
43
Zauważmy,żefunkcjaχA:S−
→{0,1}rzadkojestfunkcjąróżno-
wartościowąiczęstojestprzekształceniem„na”.Wrzeczywistości
funkcjaχAprzekształcazbiórSnazbiór{0,1},chyba,żeA=S
lubA=Ø.JeśliAlubS\Amaconajmniejdwaelementy,to
funkcjaχAniejestfunkcjąróżnowartościową.
Weźmyterazfunkcjef:S−
→Tig:T−
→U;zob.rysunek1.10.
Definiujemyzłożeniefunkcjigof:S−
→Uzapomocąwzoru
gof(x)=g(f(x))
dlawszystkichx∈S.
Lewąstronęmożnaczytaćjako„gzłożonazfodx”lub„godf
odx”.Bardziejzłożoneoperacjewykonywanewanaliziematema-
tycznejlubskomplikowanedziałaniawykonywanenakalkulatorze
mogąbyćprzedstawionejakozłożenieprostszychfunkcji.
Rysunek1.10
PRZYKŁAD5
(a)Weźmyfunkcjęh:R−
→Rdanąwzorem
h(x)=(x3+2x)7.
Wartośćh(x)otrzymujemyobliczającnajpierwx3+2x,ana-
stępniepodnoszącwynikdosiódmejpotęgi.Przezfoznaczymy
pierwszą(lubwewnętrzną)funkcję:f(x)=x3+2x.Przezgozna-
czymydrugą(lubzewnętrzną)funkcję:g(x)=x7.Nazwazmien-
nejxjestnieistotna;możemyrówniedobrzenapisaćg(y)=y7
dlay∈R.Takczyinaczej,widzimy,że
g(f(x))=g(x3+2x)=(x3+2x)7=h(x)
dlax∈R.
Zatemh=gof.Umiejętnośćprzedstawieniaskomplikowanych
funkcjijakozłożeniaprostszychfunkcjijestbardzoważnąwana-
liziematematycznej.Zauważmy,żekolejnośćfunkcjifigma
znaczenie.Istotnie
fog(x)=f(x7)=(x7)
3
+2(x7)=x21+2x7
dla
x∈R.
