Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
2.RównaniaMaxwellaelektrodynamikiklasycznej
rzutuwektoraą
Bnakierunekwektoraą
A.Iloczynskalarnyjestwięcrównyiloczynowi
długości|ą
A|i|ą
B|,gdywektoryą
Aią
Bsąwzajemnierównoległe,awięcgdyrzut
wektoraą
Bnakierunekwektoraą
Ajesttożsamyzwektoremą
B(wówczasbowiem:
B10⇒cosB11⇒ą
A·ą
B1|ą
A||ą
B|).Iloczynskalarnyzmniejszasięwraz
zezmniejszaniemrównoległościwektorówprzyzwiększaniukątaB,awięcwraz
zezmniejszaniemrzutuwektoraą
Bnakierunekwektoraą
A,stającsięzerem,gdy
wektoryą
Aią
Bsądosiebieprostopadłe,awięcgdyrzutwektoraą
Bnakierunek
wektoraą
Astajesięzerowy(wówczasbowiem:B1π/2⇒cosB10⇒ą
A·ą
B10).
Zatemiloczynskalarnyą
A·ą
Btoiloczyndługościwektoraą
Aidługościskładowej
wektoraą
Brównoległejdowektoraą
A.
20Wynikiloczynuwektorowego(2.3)jestwektoremokierunkuą
niodługości
będącejiloczynemdługości|ą
A|wektoraą
Aoraz,wynoszącej|ą
B|sinB,długościrzutu
wektoraą
Bnakierunekprostopadłydowektoraą
A.Iloczynwektorowyjestwięc
zerowydlawektorówrównoległych,dlaktórychzerowajestskładowaą
Bprostopadła
doą
A(wówczasbowiem:B10⇒sinB10⇒ą
A׹
B10),ajesttymwiększy
idążącydo|ą
A||ą
B|,imwektorysądosiebiebardziejprostopadłe(wówczas:B1
π/2⇒sinB11⇒ą
A׹
B1|ą
A||ą
B|).Zatemiloczynwektorowyą
A׹
Btowektor
okierunkuą
nprostopadłymdoą
Aią
B,odługościbędącejiloczynemdługościwektora
Aidługościskładowejwektoraą
ą
Bprostopadłejdowektoraą
A.
Wzory(2.2)–(2.3)umożliwiająponadto,przyużyciutylkooperacjialgebraicz-
nych(dodawaniaimnożenia),uzyskaniereprezentacjiiloczynuskalarnegoiwek-
torowegowdowolnymukładziewspółrzędnych.Dlaukładuwspółrzędnychkarte-
zjańskich,wktórymbaząsąwektoryjednostkoweą
ex1[1j0j0],ą
eg1[0j1j0],
ez1[0j0j1]wzajemniedosiebieprostopadłe,dowolnywektorą
ą
Amożnazapisać
jakokombinacjęliniowąwektorówbazy[31,s.23]7:
A1[AxjAgjAz]1ą
ą
Ax+ą
Ag+ą
Az1Axą
ex+Agą
eg+Azą
ez.
(2.4)
Zkoleizewzorów(2.2)–(2.3)wynika,żeponieważwektorybazyą
ex,ą
eg,ą
ezsą
wzajemnieprostopadłe,toichiloczynyskalarneiwektorowe,wynoszą:
ex·ą
ą
ex1ą
eg·ą
eg1ą
ez·ą
ez11ją
ex·ą
eg1ą
ex·ą
ez1ą
eg·ą
ez10
oraz:
(2.5)
7Zapiswektoraą
Awpostacisumy(2.4)pozwalanazastosowanietzw.konwencjisumacyjnej
Einsteina(ang.Einsteinnotation).Należywtymceluoznaczeniewspółrzędnychx,y,zzastąpić
oznaczeniemindeksowanymwskaźnikiem,np.ź=1,2,3.Wówczaswektor(2.4)możnazapisać:
A=Σ
ą
3
i=1
xią
ei=xią
ei.Konwencjatapoleganazastosowaniuwskaźnika,któryrazwystępuje
ugóry,adrugirazudołu,iwówczaspomijanyjestznaksumyΣ,asumowaniewykonywane
jestwcałymzakresie,jakiprzebiegatenwskaźnik.Znacznemuuproszczeniuulegawtensposób
zwłaszczazapisoperacjizużyciemoperatorówmacierzowych(tensorów).Ztegopowoduzapis
wersorówą
e1,ą
e2,ą
e3okazujesięporęczniejszyodinnychstosowanychkonwencji:ą
i,ą
j,ą
kczyˆ
x,
y,ˆ
ˆ
z.
