Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.4.RównaniaMaxwellawpróżni
23
ex׹
ą
ex1ą
eg׹
eg1ą
ez׹
ez10j
ą
ą
ez׹
ex׹
eg׹
ą
ez1−ą
ex1−ą
eg1−ą
eg׹
ez׹
ex׹
ex1ą
eg1ą
ez1ą
exj
eg.
ezj
(2.6)
Stosującoperacjealgebraicznedlakartezjańskichreprezentacjiwektorówą
Aią
B
(2.4)orazwynikającezdefinicji(2.2)–(2.3)zależności(2.5)–(2.6)dlawersorówbazy,
otrzymujemyreprezentacjekartezjańskieiloczynówskalarnego(2.2)iwektorowego
(2.3)[31,s.23,24]8:
A·ą
ą
B1(Axą
ex+Agą
eg+Azą
ez)·(Bxą
ex+Bgą
eg+Bzą
ez)1AxBx+AgBg+AzBzj
(2.7)
A׹
ą
B1(Axą
ex+Agą
eg+Azą
ez)×(Bxą
ex+Bgą
eg+Bzą
ez)1
(2.8)
1(AgBz−AzBg)ą
ex+(AzBx−AxBz)ą
eg+(AxBg−AgBx)ą
ez.
(2.9)
Zapisiloczynuwektorowegowpostaciwzoru(2.9),choćuciążliwy[31,s.24],
okażesięprzydatnyiporęcznyprzywyprowadzaniutwierdzeniaStokesa(2.33)
wpunkcie2.59.
Dlaoperatoranablaą
∇,którywbaziekartezjańskiejmareprezentacjęą
∇1
ex∂
ą
∂x+ą
eg∂
∂g+ą
ez∂
∂zwynikającąwprostz(2.4)(przyczymwersoryzapisujesię,
korzystajączprzemiennościmnożenia,przedoperatoramiróżniczkowania,ponieważ
wprzeciwnymrazieotrzymanywektorbyłbyzerowy),idladowolnegowektoraą
A
(2.4)zewzorów(2.7)–(2.9)otrzymujesięzapiswektorowydywergencjią
∇·ą
Airotacji
∇׹
ą
Awewspółrzędnychkartezjańskich:
∇·ą
ą
A1∇xAx+∇gAg+∇zAz1
∂Ax
∂x
+
∂Ag
∂g
+
∂Az
∂z
j
∇׹
ą
A1(
∂Az
∂g
−
∂Ag
∂z)ą
ex+(
∂Ax
∂z
−
∂Az
∂x)ą
eg+(
∂Ag
∂x
−
∂Ax
∂g)ą
ez.
(2.10)
(2.11)
Uważneikonsekwentneoperowaniealgebrąwektorówzgodniezpowyższymiza-
pisamijestjednymzfundamentówobliczeniowychelektrodynamiki,awpunkcie2.5
pozwolinazbudowanieintuicjidotyczącejdywergencjiirotacji,poprzezomówione
wpunkcie2.5twierdzenia,odpowiednio,Gaussa-Ostrogradskiego(2.33)iStokesa
(2.24).
8Pozostałeoperacjenawektorachsątrywialne.Dodawaniewektorów:ą
A±ą
B=(Axą
ex+
Agą
eg+Azą
ez)±(Bxą
ex+Bgą
eg+Bzą
ez)=(Ax±Bx)ą
ex+(Ag±Bg)ą
eg+(Az±Bz)ą
ez,mnożenie
wektoraprzezskalar:αą
A=α(Axą
ex+Agą
eg+Azą
ez)=αAxą
ex+αAgą
eg+αAzą
ez.
9Wzór(2.9)możnateżzapisaćbardziejzwięźle,korzystajączesposobuzapisuwyznacznika
odpowiednioskonstruowanejmacierzy:ą
A׹
B=det[ą
BxByBz]=
AxAyAz
exą
eyą
ez
|
|
|
|
AxAyAz
BxByBz
ą
exą
eyą
ez
|
|
|
|
=(2.9).
