Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Dwustanowadynamikacenakcjizestanempochłaniającym
25
X
t
(
x
,
t
/
y
0
,
τ
)
=
2
π
(
t
1
−
τ
)
σ
2
e
−
⎛
⎜
⎜
⎝
x
−
y
0
−
⎛
⎜
⎝
2
μ
σ
2
2
2
−
(
1
2
t
−
σ
τ
2
2
)
⎞
⎟
⎠
(
t
−
τ
)
⎞
⎟
⎟
⎠
2
f
gdziewarunek„początkowy”mapostać:
x
τ
=
ln
S
S
τ
0
=
y
0
.
(24)
UstalmymomentzmianystanunaT=
τ
<t,wtedyrozkładlogarytmicznej
stopyzwrotuwchwilitmapostać:
+∞
f
Xt
/
T
=
τ
≤
t
(
x
,
t
/
x
0
=
0
,
0
)
=
∫
f
X
(
x
,
t
/
y
0
,
τ
)(
f
X
y
0
,
τ
/
x
0
=
0
,
0
)
dy
0
(25)
−
∞
Stądznajdujemy:
f
Xt
/
T
=
τ
≤
t
(
x
,
t
/
x
0
=
0
,
0
)
=
=
+
−
∫
∞
∞
2
π
(
t
1
−
τ
)
σ
2
e
−
⎛
⎜
⎜
⎝
x
−
y
0
−
⎛
⎜
⎝
2
μ
σ
2
2
2
−
(
1
2
t
−
σ
τ
2
2
)
⎞
⎟
⎠
(
t
−
τ
)
⎞
⎟
⎟
⎠
2
2
πτ
1
σ
1
e
−
⎛
⎜
⎜
⎝
y
0
−
⎛
⎜
⎝
μ
2
1
σ
−
1
1
2
2
τ
σ
1
2
⎞
⎟
⎠
τ
⎞
⎟
⎟
⎠
2
dy
0
Powyższacałkamożebyćwyznaczonaanalitycznie:
(26)
f
X
t
/
T
=
τ
≤
t
(
x
,
t
/
x
0
=
0
,
0
)
=
2
π
[
σ
2
2
(
t
1
−
τ
)
+
σ
1
2
τ
]
e
−
⎡
⎢
⎣
x
−
μ
2
(
t
−
τ
2
)
−
[
σ
μ
2
2
1
τ
(
t
+
−
1
τ
2
(
)
σ
+
2
σ
2
2
(
1
t
τ
−
]
τ
)
+
σ
1
2
τ
)
⎤
⎥
⎦
2
(27)
Korzystająctwierdzeniaoprawdopodobieństwiecałkowitymmożemyna-
pisać:
t
f
X
t
(
x
,
t
/
x
0
=
0
,
0
)
=
∫
f
X
t
/
T
=
τ
≤
t
(
x
,
t
/
x
0
=
0
,
0
)(
f
Τ
τ
)
d
τ
+
0
+
f
X
t
/
T
=
τ
>
t
(
x
,
t
/
x
0
=
0
,
0
)(
P
T
>
t
)
(28)
Wzór(28)pozwalanawyznaczeniekwantylarozkładuzarównologaryt-
micznychstópzwrotu,jakicenakcji.
