Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
TadeuszCzernik,DanielIskra
+∞
P
(
S
t
<
s
)
=
∫
P
(
S
t
<
s
/
Τ
=
τ
)()
f
Τ
τ
d
τ
=
0
t
=
∫
P
(
S
t
<
s
/
Τ
=
τ
<
t
)()
f
Τ
τ
d
τ
+
P
(
S
t
<
s
/
Τ
>
t
)
P
(
Τ
>
t
)
0
czyli:
(20)
t
P
(
S
t
<
s
)
==
∫
P
(
S
t
<
s
/
Τ
=
τ
<
t
)()
f
Τ
τ
d
τ
+
P
(
S
t
<
s
/
ξ
t
=
0
)(
P
Τ
>
t
)
(21)
0
Alternatywnieprzechodzącdologarytmicznychstópzwrotumożemyzapisać:
P
⎛
⎜
⎜
⎝
ln
S
S
0
t
<
ln
S
s
0
⎞
⎟
⎟
⎠
=
∫
0
t
P
⎛
⎜
⎜
⎝
ln
S
S
t
0
<
ln
S
s
0
/
Τ
=
τ
<
t
⎞
⎟
⎟
⎠
f
Τ
()
τ
d
τ
+
+
P
⎛
⎜
⎜
⎝
ln
S
S
0
t
<
ln
S
s
0
/
ξ
t
=
0
⎞
⎟
⎟
⎠
P
(
Τ
>
t
)
(22)
Zuwaginaskomplikowanąpostaćwzorunieprzedstawionoanalitycznej
postacidystrybuanty.
Korzystajączfaktu,iżrozkładlogarytmicznejstopyzwrotu
X
t=
ln
S
t
S
0
jestrozkłademnormalnymmożemyzapisaćgęstośćwielkości
X
t=
ln
S
t
(wa-
S
0
runekpoczątkowymapostać
x
0
=
ln
S
S
0
0
=
0
)podwarunkiem,żedoczasutnie
nastąpiłazmianastanu:
f
X
t
/
Τ
>
t
(
x
,
t
/
x
0
=
0
,
0
)
=
2
π
1
t
σ
1
e
−
⎛
⎜
⎜
⎝
x
−
⎛
⎜
⎝
μ
1
2
−
σ
1
1
2
2
σ
t
1
2
⎞
⎟
⎠
t
⎞
⎟
⎟
⎠
2
(23)
Załóżmy,żewchwili
τ
(0<
τ
<t)nastąpiłoprzejściedostanu„1”,wtedy
gęstośćprawdopodobieństwalogarytmicznejstopyzwrotunaprzedziale(
τ
,t)
mapostać:
