Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Dwustanowadynamikacenakcjizestanempochłaniającym
23
Dalejznajdujemy:
ES
t
2
=
S
0
2
e
2
⎛
⎜
⎝
μ
1
+
1
2
σ
1
2
⎞
⎟
⎠
t
+∞
∫
e
2
⎡
⎢
⎣
μ
2
−
μ
1
+
1
2
(
σ
2
2
−
σ
1
2
)
⎤
⎥
⎦
(
t
−
τ
)(
O
t
−
τ
)
f
Τ
()
τ
d
τ
0
lub:
ES
t
2
=
S
0
2
e
2
⎛
⎜
⎝
μ
1
+
1
2
σ
2
1
⎞
⎟
⎠
t
⎡
⎢
⎢
⎣
∫
0
t
e
2
⎡
⎢
⎣
μ
2
−
μ
1
+
1
2
(
σ
2
2
−
σ
1
2
)
⎤
⎥
⎦
(
t
−
τ
)
f
Τ
()
τ
d
τ
+
+
∫
t
∞
f
Τ
()
τ
d
τ
⎤
⎥
⎥
⎦
=
=
S
0
2
e
2
⎛
⎜
⎝
μ
1
+
1
2
σ
1
2
⎞
⎟
⎠
t
⎡
⎢
⎢
⎣
∫
0
t
e
2
⎡
⎢
⎣
μ
2
−
μ
1
+
1
2
(
σ
2
2
−
σ
1
2
)
⎤
⎥
⎦
(
t
−
τ
)
f
Τ
()
τ
d
τ
+
P
(
Τ
>
t
)
⎤
⎥
⎥
⎦
Alternatywniewyrażenie(16)możebyćprzedstawionewpostaci:
(15)
(16)
ES
t
2
=
S
0
2
e
2
⎛
⎜
⎝
μ
1
+
1
2
σ
1
2
⎞
⎟
⎠
t
⎡
⎢
⎢
⎣
∫
0
t
e
2
⎡
⎢
⎣
μ
2
−
μ
1
+
1
2
(
σ
2
2
−
σ
1
2
)
⎤
⎥
⎦
(
t
−
τ
)
f
Τ
()
τ
d
τ
+
1
−
F
Τ
()
t
⎤
⎥
⎥
⎦
(17)
Korzystajączeznanejtożsamości
D
2
S
t
=
ES
t
2
−
(
ES
t
)
2
znajdujemywa-
riancjęcenyakcji:
D
2
S
t
=
S
0
2
e
2
⎛
⎜
⎝
μ
1
+
1
2
σ
1
2
⎞
⎟
⎠
t
⎡
⎢
⎢
⎣
∫
0
t
e
2
⎡
⎢
⎣
μ
2
−
μ
1
+
1
2
(
σ
2
2
−
σ
1
2
)
⎤
⎥
⎦
(
t
−
τ
)
f
Τ
()
τ
d
τ
+
1
−
F
Τ
()
t
⎤
⎥
⎥
⎦
−
−
S
0
2
e
2
μ
1
t
⎡
⎢
⎣
∫
0
t
e
(
μ
2
−
μ
1
)(
t
−
τ
)
f
T
()
τ
d
τ
+
1
−
F
Τ
()
t
⎤
⎥
⎦
2
(18)
Wyprowadzonewzorynawartośćoczekiwanąorazwariancjęcenyakcji
mogąrównieżbyćotrzymanezwarunkowegorozwiązaniastochastycznego
równaniaróżniczkowego(4):
S
t
/
Τ
=
S
0
e
⎛
⎜
⎝
μ
1
−
1
2
σ
1
2
⎞
⎟
⎠
t
+
⎡
⎢
⎣
μ
2
−
μ
1
−
1
2
(
σ
2
2
−
σ
1
2
)
⎤
⎥
⎦
(
t
−
Τ
)(
O
t
−
Τ
)
+
σ
1
W
t
+
(
σ
2
−
σ
1
)(
O
t
−
Τ
)(
W
t
−
W
Τ
)
(19)
Wdalszejczęścirozdziałuwyznaczonabędziedystrybuantaigęstośćroz-
kładucenyakcji.Korzystającztwierdzeniaoprawdopodobieństwiecałkowitym
możemynapisać[4]:
