Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
14
Otwierdzeniachihipotezach.MatematykawedługDelty
tykzliczbcałkowitychłatwokonstruujeliczbywymierne,tzn.nułamki”
m/n,gdziemjestliczbącałkowitą,an–liczbąnaturalną(niezerem!).
Pewneztychułamkównależyuznaćzarówne.Naułamkachtychmożna
wnaturalnysposóbzdefiniowaćpodstawowedziałaniaarytmetyczne:
dodawanieimnożenie,orazwtórnedziałaniaodwrotne:odejmowanie
idzielenie(nieprzezzero!).Możnajeteżuporządkować,tzn.wprowa-
dzićrelacjęmniejszościx<y.Intuicyjniełatwosobienwyobrazić”liczbę
wymierną.Łatwobowiemwyobrazićsobien-tączęśćczegoś,toznaczy
liczbę1/n;łatwoteżwyobrazićsobiemtakichczęści,tzn.liczbęm/n,
zewentualnązmianąznaku,czyliznodbiciemlustrzanymwzerze”.
Poczciweliczbywymierne!Takbardzosąużyteczne!Wszystkietrans-
akcjehandlowe,bankowe,wszelkiepomiary,wszelkierachunkitech-
nicznesąnanichoparte.Zpunktuwidzeniaczystejpraktykijestich
zadużo,bonieskończeniewiele.Wpraktycedorachunkówużywasię
tylkoskończeniewieluliczbwymiernych(trudnobyłobyoszacowaćile).
Takjużjednakjestzmatematykami.Jeślicośtworzą,czyniątonaogół
wpełnejogólności,wskutektegonawyrost,naogółwięcej,niżjestto
potrzebnewpraktyce.
Niestety,zbiórliczbwymiernychmawady.Wprawdziejestgęsty,
tzn.dladowolnychdwuliczbwymiernychistniejetrzeciapołożonamię-
dzynimi.Jestjednakdziurawy,przytymjegodziurysąrównieżroz-
mieszczonewsposóbgęsty,tzn.międzydowolnymidwiemaliczbami
wymiernymiznajdujesięzawszedziura.Tedziurybiorąsięniezesta-
rościzbioru,niewskutekprzetarciazbioruwwynikutakczęstegouży-
wanialiczbwymiernychwpraktyce.Poprostutakajestmatematyczna
naturategozbioru.Zbiórliczbwymiernychmapostaćbardzogęstego
jednowymiarowegosita.
Musimywyjaśnić,corozumiemyprzezdziuręwzbiorzeliczbwymier-
nych(zawodowimatematycymówiąnluka”zamiastndziura”).Dziurą
nazywamytakipodziałzbioruWwszystkichliczbwymiernychnadwa
niepustepodzbioryW1iW2,żepopierwszekażdaliczbazezbioruW1
jestmniejszaodkażdejliczbyzbioruW2,oraz–podrugie–wzbiorze
W1niemaliczbynajwiększej,awzbiorzeW2niemaliczbynajmniej-
szej.Mówimy,żetakadziurależymiędzyliczbamiwymiernymiw1iw2
(w1<w2),jeśliw1należydoW1,aw2należydoW2.Naprzykład,
zaliczmydoW1wszystkieujemneliczbywymierneitenieujemne,któ-
rychkwadratjestmniejszyod2,adoW2zaliczmywszystkiedodatnie
liczbywymierne,którychkwadratjestwiększyod2.PodziałzbioruW
nazbioryW1,W2jestdziurą(luką)wzbiorzeliczbwymiernych.Bardzo
łatwosprawdzić,żedziuratależymiędzyliczbami1i2.Beztrudumożna
bywyznaczyćbardziejdokładniepołożenietejdziury.Prostyrachunek
dowodzi,żeleżyonamiędzy1,41a1,42.Oczywiściemożnawyznaczyć
jejpołożeniejeszczedokładniej.
Istnieniedziurwzbiorzeliczbwymiernychjestźródłemwielukło-
potów.Obrazowomożnapowiedzieć,żeprzeztedziurywyciekatreść
matematycznawielupięknychtwierdzeń,zwłaszczatychobardziejsub-
telnejstrukturze.Zbiórliczbwymiernychjestświetnydorachunków
naliczbachkonkretnych,alezłydlawielucelówteoretycznych,dlabar-
dziejskomplikowanychdziałańnaliczbachniżdodawanie,odejmowanie,
mnożenieidzielenie,zwłaszczajeślichcesięwykonywaćtedziałania
wsposóbdokładny,anieprzybliżony.Jużpierwiastkowanieniejestwy-
