Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Czyliczbyrzeczywistesąrzeczywiste?
15
konalnewtymzbiorze.Spróbujcieokreślićtakpożytecznąfunkcjęjak
logx(x>0)tak,byzarównox,jakilogxbyłyliczbamiwymiernymi–
nicztegoniewyjdzie.Wjednymidrugimprzypadkuczujesiępoprostu
brakliczb,zbiórliczbwymiernychjestzamały,bywykonywaćwnim
logarytmowanielubpierwiastkowanie(dokładne,anieprzybliżone).
Matematykbardzonielubi,gdypewnedziałania,wyglądającenana-
turalnelubpożyteczne,sąniewykonalne.Wwieluprzypadkachusuwa
niewykonalnośćdziałańprzezodpowiednierozszerzeniezbioruprzed-
miotów,naktórychdziałaniamająbyćwykonane,lubktóremająbyć
wynikiemtychdziałań.Możnabyprzytoczyćwieleprzykładów–na-
wetznajnowszejmatematyki.Przytoczymytutylkojeden:rozszerzenie
zbioruliczbwymiernychdozbioruliczbrzeczywistych.
Rozszerzenietowykonujesięwsposóbnastępujący.Przedkażdą
dziurąwzbiorzeliczbwymiernychmatematykkładziekołekdozatka-
niajej(liczbęwymiernąwygodniejestinterpretowaćjakopunktnaosi
liczbowej;wówczaskołekdozabiciadziuryteżmożnawyobrażaćsobie
jakopunktnatejosi).Następniejednymuderzeniemmłotkamatematyk
wbijawszystkiekołki.Zwracamuwagęnafakt,żematematykjednym
aktemwoliwbijaodrazuwszystkiekołkiwewszystkiedziury!Niena-
leżywyobrażaćsobieprocesuwbijaniawtensposób,żenajpierwnu-
merujewszystkiedziuryliczbaminaturalnymi,apotemchodzikolejno
odn-tejdziurydon+1-szejizabijajekołkami.Takiepostępowanie
byłobyniemożliwe,możnabowiemudowodnić,żedziurwzbiorzeliczb
wymiernychjesttakdużo,żeniemożnaichponumerowaćwszystkimi
liczbaminaturalnymi.
Wszystkieliczbywymiernemożnaponumerowaćkolejnymiliczbami
naturalnymi,aledziurwtymzbiorze–nie!Dziwne,nieoczekiwane,ale
prawdziwe.Jakkolwiekponumerowalibyśmytedziurywszystkimilicz-
baminaturalnymi,zawszeznalazłobysięjeszczenieskończeniewielenie-
ponumerowanychdziur!Zawodowimatematycymówią,żejakiśzbiór
jestprzeliczalny,jeśliwszystkiejegoelementymożnaponumerowaćko-
lejnymiróżnymiliczbaminaturalnymi,ajestnieprzeliczalny,jeślitego
niemożnazrobić.Zbiorynieprzeliczalnesąznaczniewiększe,znacznie
bogatszewelementyniżzbioryprzeliczalne.Zbiórliczbwymiernychjest
przeliczalny,azbiórwszystkichdziurwtymzbiorzejestnieprzeliczalny.
Widaćstąd,żewzbiorzeliczbwymiernychjestwięcejdziurniżliczb!
Czyżmożnamiećzaufaniedotakiegozbioru?Nicdziwnego,żewiele
treścimatematycznejprzezeńwycieka.
Powróćmydorozszerzenialiczbwymiernychdorzeczywistych.Wbite
kołeczkinazwiemyliczbaminiewymiernymi,acałość,tzn.zarówno
liczbywymierne,jakiniewymierne,nazwiemyliczbamirzeczywistymi
zgodniezpowszechnieustalonąterminologią.Czytelnikłatwosiędo-
myśli,żekołeczek,któryzatkałdziurę,podanąjakojedynyprzykład
ilustrującytopojęcie,oznaczaćbędziemysymbolem√2.
Jakwkażdejinnejkonstrukcjimatematycznej,takiwtymprzy-
padkunależywyróżnićdwiestronytegosamegozadania:1)intuicyjne
wyjaśnienieceluimetodykonstrukcjioraz2)precyzyjnyopisjejwyko-
naniazzachowaniemnajwyższychkryteriówścisłościwspółczesnejma-
tematyki.Opisanepowyżejwbijaniekołeczkówwdziurytotylkointu-
icyjnyopiskonstrukcji,wyjaśnieniejejcelu.Precyzyjnyopiskonstrukcji
–tozupełnieinnezagadnienie.Zagadnienie–powiedziałbym–dosyć
