Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
mentarnych.Jednakmatęzaletę,żeuzyskanywyniktejoperacjimożnaspra-
wdzić.Podamyponiżejpodstawowedefinicjeiwzoryorazmetodycałkowania
pewnychklasfunkcjielementarnych.OdCzytelnikawymagasiępewnego
doświadczeniapraktycznego(rozwiązaniadużejilościprzykładów)iumiejęt-
nościkorzystaniazwieludostępnychzbiorówcałek(np.[2,3]).
Pojęciefunkcjipierwotnejicałkinieoznaczonej
Zagadnieniecałkowaniapoleganarozwiązaniurównaniafunkcyjnego
,czyliznalezieniuwszystkichfunkcjiniewiadomych
,
którychpochodnajestrównadanejfunkcji
(wprzypadkuprzedziałudomk-
niętegopochodnąwpunkciebrzegowymtraktujemyjakopochodnąjednostron-
ną).Rozwiązanietegoproblemuprowadzidopojęciafunkcjipierwotnejicałki
nieoznaczonejfunkcji
.
Definicja4.1(funkcjipierwotnej).Niech
będziedowolnym
przedziałeminiechbędziedanafunkcja
.
Funkcję
nazywamyfunkcjąpierwotną(lubcałką)
funkcji
.
Twierdzenie4.1(opostacifunkcjipierwotnych).Jeśli
jestfunkcjąpier-
wotnąfunkcji
,to
jestfunkcjąpierwotnąfunkcji
.
Dowód.
Oczywiście,
izzałożeniaorazzfaktu,żepo-
chodnafunkcjistałejjestfunkcjąstałąowartości0,mamy:
,
cooznaczazdefinicji,że
jestfunkcjąpierwotnąfunkcji
.
Obliczamypochodnąróżnicyfunkcji
.Ponieważsąonefunkcjami
pierwotnymifunkcji
,więc
,
,
awięcróżnica
jestfunkcjąstałąopewnejwartości
(por.uwagę
iwniosekpotwierdzeniu3.25),tzn.
,
.
Wniosek.Wystarczyznaćtylkojednąfunkcjępierwotną
,abyokreślić
wszystkieinneznieskończonegozbiorufunkcjipierwotnychdanejfunkcji
.
Różniąsiębowiemonetylkopewnąstałą.
Definicja4.2(całkinieoznaczonej).Zbiór(rodzinę)wszystkichfunkcji
pierwotnychdanejfunkcji
naprzedziale
nazywamycałkąnieozna-
czonątejfunkcji.Składasięonazewszystkichfunkcjioznaczonychsymbo-
lem
postaci:
,gdzie
jestdowolnąustaloną
funkcjąpierwotnąfunkcji
,a
dowolnąliczbąrzeczywistą.Przytym
8
