Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
stałe,
ponadtomusibyćróżniczkowalną,awięcciągłą,stądzciągłościprawo-ile-
wostronnejtejfunkcjiwpunkcie
wynika,że
,czyli
,
.Sprzecznośćuzyskujemynatychmiast,botakokreś-
lonafunkcjaniejestróżniczkowalnawpunkcie
.
Podamyteraz(awdalszejczęścirozdziałuudowodnimy
zobacztwierdze-
nie4.13.2)następującyważnywarunekwystarczającyistnieniafunkcjipier-
wotnej.
Twierdzenie4.2(warunekwystarczającycałkowalnościfunkcji)
istniejefunkcjapierwotnafunkcji
.
Uwaga1.Wygodniejestoznaczyćjednązfunkcjipierwotnychfunkcji
(jeślioczywiścieistnieje)symbolem:
(zamiast
),ajejwartościprzez
(zamiast
).Twierdzeniepowyższemożemywówczassformuło-
wać:każdafunkcja
ciągłanaprzedziale
manatymprzedzialefunkcję
pierwotną
,czylijestcałkowalną(wsensieNewtona)iistniejejejcałka
nieoznaczonaopisanawzorem:
(4.2)
Przyobliczaniucałkinieoznaczonejuwagęskupiamygłównienaznalezieniu
dowolnejfunkcjipierwotnej
(krótko:całki),bowiemokreślonajestona
zdokładnościądodowolnejstałej,aściślejjestsumąustalonejfunkcjipierwot-
nej
idowolnejfunkcjistałej.Wykresfunkcji
nazywasiękrzywą
całkową.Całkęnieoznaczonąmożemywięcinterpretowaćgeometryczniejako
nieskończonyzbiórwszystkichkrzywychotrzymanychzwykresufunkcji
przezprzesunięcierównoległe(translację)owektor
,
(rys.4.1).
Istniejedokładniejednafunkcjapierwotna,którejwykresprzechodziprzezusta-
lonypunkt
,
.Jejwzórotrzymujesięzwyznaczeniastałej
zogólnegorównaniakrzywychcałkowych
(por.(4.1)),żądając,
aby
,stąd
.Ostatecznie
jestrównaniemszukanejfunkcjipierwotnej.
Zilustrujemytodorozwiązaniaproblemuznajdowaniadrogiprzyzadanej
prędkościwruchupunktumaterialnegopoosi.
10
