Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
3.Funkcje
JeżelifunkcjafjestróżnowartościowanacałejdziedzinieX,tomówimy
krótko,żefjestróżnowartościowa(fjestiniekcją).
UWAGA3.Załóżmy,żef:X→Yjestfunkcjąliczbowąidanyjestwykresfunkcjif.
NiechA⊂X.Możnałatwowykazać,żefunkcjafjestróżnowartościowanazbiorzeA
wtedyitylkowtedy,gdykażdaprostarównoległadoosiOxprzecinaconajwyżejjeden
razczęśćwykresutejfunkcjileżącąnadzbioremA.
Definicja3.2.Funkcjęf:X→Y,którajestróżnowartościowa
ijestodwzorowaniemna(inaczej:jestiniekcjąisuriekcją)będziemy
nazywaćodwzorowaniemwzajemniejednoznacznym(bijekcją).
Zauważmy,żejeżelif:X→Yjestbijekcją,todlakażdegog∈Y
istniejedokładniejedenelementx∈Xtaki,żeg=f(x).Możemywięc
rozważaćfunkcję,któraelementowig∈Yprzyporządkowujewłaśnieten
elementx.
Wzwiązkuzpowyższąobserwacjąprzyjmujemynastępującądefinicję.
Definicja3.3.Niechf:X→Ybędziebijekcją.Wtedyfunkcję
f-1:Y→Xokreślonąnastępująco:
f-1(g)=x⇐⇒g=f(x)
nazywamyfunkcjąodwrotnądofunkcjif.
Ilustracjęgraficznąfunkcjiodwrotnejprzedstawiononarys.3.4.
RYS.3.4
UWAGA4.Wprzypadkugdyf:X→Yniejestbijekcją,niemożemyzdefiniowaćfunkcji
odwrotnejf-1:Y→X.Możnajednakutworzyćfunkcjęodwrotnąwinnymznaczeniu.
ZnajdujemymianowiciepewienzbiórA⊂X,takiżefjestróżnowartościowanaA.
Wtedyfunkcjaf:A→f(A)jestbijekcją,zatemmożemyutworzyćfunkcjęodwrotną
f-1:f(A)→A.
Podamyterazkilkaważnychprzykładówpraktycznejrealizacjipowyż-
szejuwagi.
Przykład3.1
Rozważmyfunkcjęf:R→R,g=f(x)=sinx.Oczywiście,fniejest
bijekcją(nazbiorzeR).Jednakże,przyjmijmyA=[−
π
2,π
2];widzimy,żef
jestróżnowartościowanazbiorzeA(por.rys.3.5).
34
