Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
20
Elementyalgebryliniowej
2010Odwzorowanialinioweimacierze
DEFINICJA2.1.Odwzorowanie
φ
:Cn∋xl−ą
φ
(x)∈Cmnazywamyliniowym,jeli
φ
(
α
1x1+
α
2x2)1
α
1
φ
(x1)+
α
2
φ
(x2)
∀
α
1,
α
2∈C,
∀x1,x2∈B
n.
PrzestrzeńodwzorowańliniowychdziałajcychzCnwCmbędziemyoznaczaćL(Cn,Cm).
Istniejebijektywnarelacjapomiędzyzbioremmacierzym×n-wymiarowych,aodwzoro-
waniamizL(Cn,Cm).Zjednejbowiemstrony,jeeliOjestmacierzm×n-wymiarow,to
odwzorowanie
φ
:xl−ąOxjestoczywicieliniowezCnwCm.Zdrugiejstrony,mamynastę-
pujcywynik.
LEMAT2.1.Jeeli
φ
∈L(Cn,Cm),to
φ
(x)1Ox,gdzieOjestmacierząreprezentacyjnąod-
wzorowania
φ
∈L(Cn,Cm)wbazie{ei}n
i11⊂Cn
O:1[
φ
(e1)...
φ
(en)][e1...en]−1.
DOWÓD.Kadywektorxmawbazie{ei}n
i11⊂Cnrozwinięcie
x1
i11
∑
n
eif
ix1[e1e2...en]
∗
∫
|
|
|
l
f∗
f∗
f∗
1x
2x
nx
.
.
.
1
|
|
|
J
,
(2.1)
gdzie{fi}n
i11⊂Cnjestbazbiortogonalnąwzględem{ei}n
i11,f∗
iej1
δ
ij.Stdnamocy(2.1)
Ox1[
φ
(e1)
φ
(e2)...
φ
(en)]
∫
|
|
|
f∗
f∗
1x
2x
.
.
.
1
|
|
|
.
l
f∗
nx
J
Dziękiliniowoci
φ
mamyjednak
φ
(x)1
φ
(n
i11
∑
eif
ix)1n
∗
i11
∑
φ
(ei)f
ix1[
∗
φ
(e1)
φ
(e2)...
φ
(en)]
∫
|
|
|
l
f∗
f∗
f∗
1x
2x
nx
.
.
.
1
|
|
|
J
1Ox.
Jelifi1eidlawszystkichi∈ł,to{ei}n
i11⊂Cnjestbazortonormalną.Wprzypadkugdy
{ei}n
i11⊂Cnjest(ortonormaln)bazkartezjańskmamyO1[
φ
(e1)...
φ
(en)].
I
Przypomnijmy,e
detP/101⇒P−1:1
detP
1
adjP,
gdzieadjPoznaczamacierzdołączonądomacierzyP1[pkl]k,l11,2,...,n;tworzymyjnastępu-
jco:
adjP:1[
α
ij]
T
i,j11,...,n,
α
ij1(−1)i+j
β
ij,
β
ij1det[pkl]k,l11,...,n
;
k/1i,l/1j
n111⇒adjP:1[1].