Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
2.ELEMENTYALGEBRYLINIOWEJ
WNIOSEK2.1.Kładcw(2.3):A:1P∈L(Cn−1);B:1q∈Cn−1;C:1r∗,r∈Cn−1
iD:1
γ
∈C,dostajemy:
det[Pq
r∗
γ
]1
γ
detP−r∗[adjP]q.
2020Zagadnieniewłasne
ZagadnieniewłasnedlamacierzyA∈L(Cn)(jeeliA∈L(Rn),tonaleydokonaćkompleksy-
fikacjiprzestrzenistanuimacierzyA)jesttoproblemokreleniatakich
λ
∈C,h∈Cn,h/10,
e
Ah1
λ
h.
Liczbę
λ
iodpowiadajcyjejwektorh,stanowicerozwizaniezagadnieniawłasnego,nazy-
wamyodpowiedniowartościąwłasnąiwektoremwłasnymmacierzyA.Zbiórwartociwła-
snychAtworzyjejwidmo
σ
(A).
Rozwizaniezagadnieniawłasnegowymagarozwizanialiniowegoukładujednorodnego
(
λ
I−A)h10,
który,zgodnieztwierdzeniemCramera[48,Theorem1.16.1,s.48],maniezerowerozwizanie
(istniejewektorwłasny)wtedyitylkowtedy,gdy
λ
jestpierwiastkiemwielomianucharaktery-
stycznego
λ
l−ądet(
λ
I−A).
Zpodstawowegotwierdzeniaalgebry(twierdzenieGaussa)wynika,eAmadokładnie
nwartociwłasnych
λ
1,
λ
2,...,
λ
n,liczcwrazzalgebraicznymikrotnościami.
Jdroker[(
λ
I−A)]macierzy(
λ
I−A)nazywamypodprzestrzeniąwłasną,odpowiadajc
wartociwłasnej
λ
,ajejwymiardimker[(
λ
I−A)],równyilociliniowoniezalenychwekto-
rówwłasnych,odpowiadajcych
λ
,nazywamykrotnościągeometrycznąwartociwłasnej
λ
.
Krotnoćgeometrycznajestniewiększaodkrotnocialgebraicznej.
WektorqnazywamywektoremcyklicznymmacierzyA,jeeli
det[qAqA2q...An−1q]/10.
JeeliqjestwektoremcyklicznymA,towspółczynnikiwielomianucharakterystycznegomona
okrelićmetodąKryłowa.Ztwierdzenia2.1wynika,edladowolnegowektoraq∈Rnmamy
an−1A
n−1q+an−2An−2q+...+a1Aq+a0q1−Anq
lubrównowanie
[qAqA2q...An−1q]
∫
|
|
|
|
l
an−1
a0
a1
a2
.
.
.
1
|
|
|
|
J
1−Anq.
(2.5)
ZatemjeeliqjestwektoremcyklicznymA,towspółczynnikiwielomianucharakterystycz-
negoswjednoznacznysposóbokreloneprzezukładrównańliniowych(2.5)2.
Wielomiancharakterystycznymoebyćwyliczonyprzezwielokrotneuyciewniosku2.1
domacierzy
λ
I−A.
2ZtwierdzeniaKroneckera–Capelliegowynika,eukład(2.5)zawszemarozwizanie,alebezcyklicznoci
qdasięokrelićjedynieniektórewspółczynnikiwielomianucharakterystycznego.