Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.ELEMENTYALGEBRYLINIOWEJ
5
Współczynnikimonicznegowielomianu(owspółczynniku1przynajwyszejpotędze)cha-
rakterystycznego
det(
λ
I−A)1
λ
n+an−1
λ
n−1+an−2
λ
n−2+...+a1
λ
+a0
wyraajsięwzorami[48,Theorem2.1.2]
ak1(−1)
n−k
(
∑
j11
n
k)
Mj(n−k),
k10,1,
...,n−1,
(2.6)
gdzieMj(n−k)jestj-tymminoremgłównymrzędun−kmacierzyA,tj.wyznacznikiem
macierzypowstajcejzAprzezwykreleniekkolumniwierszyotychsamychnumerach.
Wszczególnocian−11−trA,gdzietrAoznaczaśladmacierzyA(sumęelementówdiagonal-
nych)oraza01(−1)ndetA.
RównowanereprezentacjewspółczynnikówwielomianucharakterystycznegopodaliCur-
tright,FairlieiAlshal[49,Section3.1]:
∫
|
T1
T2
k−1
T1
k−2...
0
...
Tk−1Tk−2...T1
0
0
1
.
.
.
1
|
|
|
|
|
|
|
J
,Tk:1tr(A
an−k1
(−1)k
k!
det
|
|
|
|
|
|
Tk−1Tk−2Tk−3...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
k),k11,2,
...,n,
(2.7)
l
Tk
przyczymmacierzwewzorze(2.7)rozbudowujesięzewzrostemkodprawegodolnegoku
lewemugórnemunarou.
Niech{ih1
s}
s1m
s11będziezbioremliniowoniezalenychwektorówwłasnych,odpowiadaj-
cychustalonejwartociwłasnej
λ
imacierzyA.ŁańcuchemJordanarozpoczętymwektorem
własnymih
1
s,odpowiadajcymwartociwłasnej
λ
i(indekss11,2,
...,mjestustalony)na-
zywamymaksymalnielicznycig(licznoćtabędzieoznaczanaiks)niezerowychwektorów
{ihl
s}
l1iks
l11,spełniajcychrównania
(A−
λ
iI)ih
l
s1ih
l−1
s
,
l12,3,
...,iks
⇐⇒A[
ih1
s
ih2
s
...ih
iks−1
s
ihi
s
ks
]
∫
|
|
l
\
macierzowymiarachiks×iks
λ
0
0
0
i
λ
1
0
0
i
...
\f
0
1
0
...
...
...
λ
i
...
λ
0
0
1
i
1
|
|
|
|
|
J
/
,
1[
ih1
s
ih2
s
...ih
iks−1
s
ihi
s
ks
]
|
|
|
...
...
...
...
numerwartociwłasnej−ąihl←−numerwektorawłańcuchu
s←−numerwektorawłasnegorozpoczynajcegołańcuchJordana.
(A−
λ
iI)ih
1
s10;
(2.8)
Wektory{ihl
s}
l1iks
l12nazywamyuogólnionymiwektoramiwłasnymi.