Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
6
2.ELEMENTYALGEBRYLINIOWEJ
2030Kanonicznareprezentacjajordanowska
MacierzmodalnądlaAnazywasięmacierzokolumnachbędcychkolejnymiłańcuchami
Jordana:
T1[♣
ih1
1
ih2
1
...ih
ik1
1
ih1
2
ih2
2
...ih
ik2
2
···
ih1
m
ih2
m
...ih
ikm
m
♣],
gdziesymbol♣oznaczatworzenieanalogicznychłańcuchówJordanadlainnychwartociwła-
snychmacierzyA,tj.dlainnychindeksówi.
MacierzmodalnaTjestnieosobliwaiwyznaczatransformacjępodobieństwaAdopostaci
JordanaJ,tzn.
T−1AT1J,
(2.9)
gdzieJwyraasięwzorem
J1
∫
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l
♣
∫
|
|
l
λ
0
0
·
i
λ
1·0
···
·0
i
·0
λ
i
1
|
|
J
1
|
|
|
|
|
|
|
∫
|
|
l
λ
0
0
·
i
λ
1·0
···
·0
i
·0
λ
i
1
|
|
J
...
∫
|
λ
0
i
λ
1·0
i
·0
1
|
|
|
|
|
l
0
·
···
·0
λ
i
|
J
♣
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J
.
(2.10)
Wewzorze(2.10)klatkijordanowskiesodpowiednioik1,ik2,
...,ikm–wymiarowe.Relację
podobieństwa(2.9)łatwouzasadnić,zapisujcjwpostaciAT1TJ,anastępniezastosować
zalenoć(2.8).
MacierzN∈L(Cn)nazywamynormalną,gdykomutuje(jestprzemienna)zeswojmacie-
rzsprzęonN∗1N
T,tzn.NN∗1N∗N.
Dladowolnegozbioru{
λ
k}k1n
k11⊂CistniejemacierznormalnaNtaka,e
σ
(N)1{
λ
k}k1n
k11.
Przykładamimacierzynormalnychsmacierzesamosprzężone(N1N∗),skośniesprzężone
(N1−N∗)iortogonalne(N−11N∗).Macierzsamosprzęonamarzeczywistewidmo.Widma
macierzyskoniesprzęonychiortogonalnychspołooneodpowiednio–naosiurojonej
iokręgujednostkowym(dlaczego?).
TWIERDZENIE2.2(Twierdzeniespektralnedlamacierzy).MacierzN∈L(Cn)jestnormalna
wtedyitylkowtedy,gdyposiadabazęortonormalnzwektorówwłasnych.
Macierzepodobnedonormalnychmajbazęzwektorówwłasnych.Macierzetakienazy-
wamymacierzamiprostejstruktury.Jordanowskiepostacikanonicznemacierzyprostejstruk-
turymajjednowymiaroweklatkiJordana,tzn.majczystodiagonalnpostaćkanoniczn
Jordana.
TWIERDZENIE2.3(Taussky–Todd).Najogólniejszpostacimacierzyprostejstrukturyorze-
czywistymwidmiejestA1HS,gdzieH1H∗iS1S∗>0.