Treść książki

Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.ELEMENTYALGEBRYLINIOWEJ
7
DOWÓD.JeliAmapostaćjakwtezie,toA1HS1S−1/2(S1/2HS1/2)S1/2,gdzieS1/21
[S1/2]∗>0jestpierwiastkiemmacierzy3S.ZatemAjestpodobnadomacierzysymetrycznej
S1/2HS1/21[S1/2HS1/2]∗,awobectegomarzeczywistewidmoin-kęliniowoniezalenych
wektorówwłasnych{S1/2ek}n
k11,gdzie{ek}n
k11oznaczabazęortonormalnzwektorówwła-
snychmacierzyS1/2HS1/2,zgodnieztwierdzeniem2.2.
Naodwrót,jeliAjestmacierzprostejstrukturyorzeczywistymwidmie,tojejmacierz
modalnaTjestzbudowanawyłczniezwektorówwłasnych,amacierzJordanaJ1T−1ATjest
diagonalna,rzeczywista.Kadamacierz,awięciT,posiadarozkładpolarny4:T1RU,gdzie
Ujestmacierzunitarn,R1R∗ł0,przyczymR>0,boTjestnieosobliwa.Zatemmamy:
A1TJT−11RUJU−1R−11RUJU∗R−11[RUJU∗R]R−21HS,
gdzieH:1RUJU∗R1[RUJU∗R]∗,S:1R−2>0.
I
ĆWICZENIE2.1.Wyznaczyćmacierzmodalnizajejpomocsprowadzićzadanmacierzdo
postaciJordana
A1
∫
|
|
l
5
1
1
1
1−1−1
5−1−1
1
1−1
3−1
3
1
|
|
J
.
Wielomiancharakterystycznywyznaczamy,korzystajczwniosku2.1:
det(
λ
I−A)1det
∫
|
|
λ
−1
−1
−5
λ
−1
−1
−5
λ
−3
1
1
l
−1
−1
1
λ
−3
1
1
1
1
|
|
J
1
1(
λ
−3)det∫
l
λ
−1
−1
−5
λ
−1
−1
−5
λ
1
−3
1
1
J
+[11−1]adj∫
l
λ
−1
−1
−5
λ
−1
−1
−5
λ
−3
1
1
1
J
∫
l
1
1
1
1
J
1(
λ
−3)(
λ
−5)(
λ
−4)2+[11−1]
∫
|
(
λ
λ
−4)2
−4
(
λ
λ
−4)2
−4
(
λ
−(
−(
−4)(
λ
λ
−4)
−4)
λ
−6)
1
|
J
∫
l
1
1
1
1
J
l
λ
−4
λ
−4
1(
λ
−3)(
λ
−5)(
λ
−4)2+(
λ
−4)21(
λ
−4)4.
WspółczynnikiwielomianucharakterystycznegomacierzyAmoemytakeokrelićzapo-
mocwzoru(2.6).Wnaszymprzykładzien14,wobectego
(
4
3)14
a31(−1)
1
∑
Mj(1)1−trA1−(5+5+3+3)1−16,
j11
a21(−1)2
(
4
2)16
j11
∑
Mj(2)1det[51
15]+det[5−1
1
3]+det[5−1
1
3]
+det[5−1
1
3]+det[5−1
1
3]+det[3−1
−1
3]
124+16+16+16+16+8196,
3Zpomoctwierdzenia2.2dowodzisię[48,Theorem2.14.2],e:Sł0⇐⇒∃Wł0,rkS1rkW,W21S.
4Rozkładpolarnyjestmacierzowwersjwykładniczejpostaciliczbyzespolonejz1rej
φ
,bo:rł0,
[ej
φ
]−11e−j
φ
1ej
φ
.