Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
4
1.Nielinioweukładydynamiczne,punktyrównowagiistabilność
Przedmiotemrozważańsąnielinioweukładydynamiczne,któremogąbyćopisane
skończonymukłademrównańróżniczkowychzwyczajnych,nazywanymrównaniemstanu
x=f(t3x3u)3
˙
wktórymtoznaczaczas,
(1.1)
x=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x1
x2
xn
.
.
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(1.2)
jestn-wymiarowymwektoremzmiennychstanu,˙
xpochodnązmiennychstanuxwzględem
czasu,a
u=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
up
u1
u2
.
.
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(1.3)
p-wymiarowymwektoremsygnałówwejściowych(sterowań)oraz
f(t3x3u)=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
f1(t3x3u)
f2(t3x3u)
fn(t3x3u)
.
.
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
(1.4)
Jeżeliniewszystkiezmiennestanusądostępne,toprzyjmiemy,żewyjścieukładujest
opisanerównaniemalgebraicznym
y=h(t3x3u)3
wktórym
y=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
ym
y1
y2
.
.
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
jestm-wymiarowymwektoremwyjśćoraz
(1.5)
(1.6)
h(t3x3u)=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
hm(t3x3u)
h1(t3x3u)
h2(t3x3u)
.
.
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
(1.7)
Rozważanesąukładydynamiczne,wktórychfunkcjaf(t3x3u)spełniazałożeniaodpo-
wiedniegotwierdzeniaoistnieniuijednoznacznościrozwiązaniarównaniaróżniczkowego
(twierdzenieD2.2zdodatkuD2),toznaczy,żeprzyokreślonymwarunkupoczątkowym
x(t0)=x0istniejedokładniejednorozwiązaniex(t)równania(1.1)określonedlat≥t0,
nazywanetrajektoriąukładu.Bypodkreślićzależnośćrozwiązaniarównaniastanuodwa-
runkówpoczątkowych,będziestosowaneoznaczeniex(t;t03x0)dlatrajektoriispełniającej
warunekx(t0)=x0.
