Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
2.Ogólnyukładrównańopisującychruchpłynunewtonowskiego
gdziei,j,k—wersoryosiprostokątnegoukładuwspółrzędnych;dx,dy,dz—skła-
doweelementuliniiprądu;u,v,w—składoweprostokątneprędkości(2.3),można
przedstawićrównanieróżniczkoweliniiprąduwnastępującejpostaciwektorowej:
V×ds=0,
(2.6)
przyczymsymbol×jestsymbolemiloczynuwektorowego.Rozpisująciloczyn(2.6)
naskładowe,otrzymujemy
u(x,y,z;t
0)
=
v(x,y,z;t
dy
0)
=
w(x,y,z;t
dz
0)
.
dx
(2.7)
Wynikcałkowaniategoukładurównańmożnaprzedstawićwpostaci:
f
1(x,y;C
1,t
0)=0,
f
2(y,z;C
2,t
0)=0,
f
3(z,x;C
3,t
0)=0.
(2.8)
Sątorzutyliniiprądunapłaszczyznyukładuodniesienia.Tylkodwaznichsąnieza-
leżne.StałeC
1,C
2,C
3zależąodwyborupunktu,przezktóryprzechodziliniaprądu.
Wbezpośrednimzwiązkuzpojęciempolaprędkościpłynupozostająpojęciapunk-
tupłynnego,liniipłynnej,powierzchnipłynnejizmiennychLagrange’a.
Punktempłynnymnazywamypunkt,któryporuszasięwpoluprędkościpotorze
określonymfunkcją(2.3).
Pojęciapunktupłynnegonienależymylićzpojęciempunktumaterialnego.Punkt
płynnymasensczystokinematyczny;niejestznimzwiązanamasa.
Podamyrównaniatorupunktupłynnego,zgodneztądefinicją.Oznaczającsym-
bolemdselementtoru,asymbolemdt—czaszużytyprzezpunktpłynnynajego
przebycie,otrzymujemyrównanieróżniczkowetoruwnastępującejpostaciwektorowej:
ds=V(x,y,z,t)dt,
(2.9)
przyczymsymbolwystępującypolewejstroniemasensfizycznyzupełnieróżnyod
symboluwystępującegow(2.4),czyliodelementuliniiprądu.Z(2.9)wynikabowiem
równanie
u(x,y,z,t)
=
v(x,y,z,t)
dy
=
w(x,y,z,t)
dz
=dt,
dx
(2.10)
któremożnaprzepisaćwpostacitrzechoddzielnychrównańróżniczkowychzwyczaj-
nych:
dx
dt
=u(x,y,z,t),
dy
dt
=v(x,y,z,t),
dz
dt
=w(x,y,z,t).
(2.11)
Otóż—czastniejestwtychrównaniachparametrem,leczzmienną—inaczejniż
wrównaniach(2.7).
Całkującukładrównań(2.11)otrzymamyczteryrelacjeopostaci:
F
1(x,y,C
1)=0,
F
2(y,z,C
2)=0,
F
3(z,t,C
3)=0,
F
4(t,x,C
4)=0,
(2.12)
analogicznejdo(2.8).Przedstawiająonerzutytorupunktupłynnegonahiperpłaszczy-
znyczterowymiarowegoukładuodniesienia,przyczymtylkotrzyznichsąniezależne.
Możnajesprowadzićdotrzechrównańtoru:
