Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Espritderiposte
Zprostejtożsamości
(1
+
x
x
i
+
2
2
)
j
+
1
=
(1
+
x
x
i
2
)
j
-
(1
+
x
x
i
2
)
j
+
1
wynika,że
a2m=
∑
k
m
=
0
c
2
mk
f
2
m
+-
1
k
,
natomiast
a2m+1=
∑
k
m
=
0
c
2
m
+
1
k
g
2
m
+-
2
k
,
gdziewspółczynnikicnksąodpowiedniodobrane.Funkcjeonumerachparzys-
tychsąparzyste,aonumerachnieparzystych–nieparzyste.Wszystkiefunkcje
tegociągusącałkowalne,awięctymbardziejcałkowalnezkwadratem;sąwza-
jemnieortogonalne,gdyichnumerysąróżnejparzystości.
Układ(a
n)funkcjiliniowoniezależnychmożemyzortonormalizować.
Istniejąwięctakiewspółczynnikiα
in,żefunkcje
bn=
∑
i
=
n
0
α
in
a
i
sąwzajemnieortogonalne,
-∞
∞
∫
bxbxdx
i
()
j
()
=
0
,gdyi≠j,
aponadto||bn||=1,dlakażdegonaturalnegon.Jeżelif∈L
2(R),toszeregorto-
gonalny
β
0b0+β
1b1+...,
będącyrozwinięciemfunkcjifwzględemukładu(b
n),gdzie
β
i=
-∞
∞
∫
fxbxdx
()()
i
oznaczauogólnionywspółczynnikFourierafunkcjifwzględemukładu(b
n),jest
zbieżnydofunkcjig∈L
2(R)wnormieśredniokwadratowej.Jeżelidlakażdej
funkcjifjejrozwinięciejestzbieżnedof,toukładnazywasięzupełnym.
Zlematuwynika,żeukładułamkówprostych(f
n,gn)jest–poortonormalizacji–
19
