Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1º2ºFisherowskadyskryminacjaliniowa
31
Reguledyskryminacyjnej(1.5)możemyzatemnadaćpostać.przypiszpunkt
x∈X
doklasy2;jeżeli
(–
x2−–
x1)
TW11[x−
1
2
(–
x1+–
x2)]>0
(1.8)
orazdoklasy1;jeżelizachodzinierównośćodwrotna(jeżelipunkt
x
leżyna
hiperpłaszczyźniedyskryminacyjnej;decyzjanależydoeksperymentatora).
Chwilizastanowieniawymagajeszczeodpowiedźnapytanie;czymaksyma-
lizacjakryterium(1.4)rzeczywiścieprowadzidootrzymaniakierunku;który
intuicyjnieuznalibyśmyzanajlepiejrozdzielającyklasy.Trafnośćkonstruk-
cjiregułydyskryminacyjnej(1.5);lubrównoważnie(1.8);wykażemy;naj-
pierwodwołującsiędoprzypadkudyskryminacjidwóchklas;gdyobserwacje
wkażdejznichpochodzązdwuwymiarowegorozkładunormalnego.Zało-
żymy;żerozkładywobydwuklasachmajątakąsamąmacierzkowariancji
Σ
;aleróżniąsię(wektorowymi)wartościamioczekiwanymi.
Zacznijmyprzetoodzdefiniowania
p
-wymiarowegorozkładunormalnego;
czylinormalnegorozkładuwektorówlosowychowartościachw
Rl
;
p≥1
(nieograniczamysięwdefinicjidoprzypadku
p=2
;ponieważwolimypo-
daćdefinicjęogólną;zwracamyprzytymuwagę;żedefinicjamusiobejmować
takżeprzypadekjednowymiarowy;dobrzeznanyzkażdegowstępnegowy-
kładurachunkuprawdopodobieństwa).Rozkładnormalnywprzestrzeni
Rl
jestokreślonynastępującągęstościąprawdopodobieństwana
Rl
.
f(x)=
(2π)l/2|Σ|1/2
1
exp(−
1
2
(x−m)TΣ11(x−m)),
(1.9)
gdzie
m
jestwektorowąwartościąoczekiwanąi
Σ
jestmacierząkowariancji
tegorozkładu;oraz
|Σ|
oznaczawyznacznikmacierzy
Σ
.Czytelnikznający
podstawygeometriianalitycznejbeztrududostrzeże;żewarstwice(czyli
miejscageometrycznestałejwartościfunkcji)gęstościnormalnejw
Rl
są
elipsoidamii;wszczególności;w
R2
sąelipsami.Teelipsoidykoncentracji
(takzwyklebędziemynazywaćwarstwicegęstościrozkładunormalnego)są
danerównaniami
(x−m)TΣ11(x−m)=C,
gdzie
C
jestdowolnąustalonąstałądodatniąi
x
jestpunktemelipsoidy.
Kierunekprostopadłydoelipsoidykoncentracjiwpunkcie
x
tejelipsoidy
jestwyznaczonyprzezgradientfunkcji
(x−m)TΣ11(x−m)
wtympunk-
cie;czyliprzezkierunek
Σ11(x−m)
.Rysunek1.4apokazuje;cowynika
ztychfaktówdlanaszegoproblemudyskryminacji(macierz
Σ
zastąpiono
narysunkujejpróbkowymodpowiednikiem
W
;ponadtouwzględnionofakt;
iżmamydoczynieniazpodpróbamizdwóchrozkładównormalnychośred-
nichpróbkowych;odpowiednio;
x1
–
i
x2
–
;punktowi
x
odpowiadanarysunku
