Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Testystatystyczneidecyzjestatystyczne
25
Wartościelementówwektora
λ
mierząkosztzwiązanyzdanymogranicze-
niem.Wysokikosztnakazujeodrzucenierestrykcjijakoniezgodnychzobserwa-
cjamipochodzącymizpróby.Należywięcsprawdzićhipotezę
λ
=0.Testmnoż-
nikówLagrange3asformułowanyjestjednakwterminachs
(
θ
̃
)
iwykorzystuje
fakt9żewartośćoczekiwanategowektorawynosi09aoszacowaniemwariancji
wektorapochodnychjestmacierzinformacjiI
(
θ
)
.Jeżelirestrykcjesązasadne9to
wartośćs
(
θ
̃
)
powinnazbliżaćsiędo0.
StatystykątestumnożnikówLagrange’anazywamystatystykępostaci:
LM=s
(
θ
̃
)
T
(
Î
(
θ
̃
))
-1s
(
θ
̃
)
.
(1.27)
Dużewartościstatystyki(1.27)świadcząoniespełnieniurestrykcji
θ
∈Θ
0.
Twierdzenie1.4.Przyzałożeniuwarunkówregularności(1-3)iprawdziwo-
ścihipotezyH
0
LM~
as
χ
2
(m-r).
(1.28)
Przyszacowaniuparametrówrównaniaregresjiliniowejmożliwejestwy-
prowadzenieuproszczonejpostacistatystykimnożnikówLagrange3a.Przyjmując
założenie9żemacierzinformacjiszacowanajestzapomocąalgorytmuBHHH
(por.Berndt9Hall9Hall9Hausman[1974]9Maddala[2008])9którywykorzystu-
jeiloczyngradientówfunkcjiwiarygodności.StatystykęmnożnikówLagrange3a
możnazapisaćjako:
LM=TR
29
gdzieTjestliczbąobserwacji9aR
2jestwspółczynnikiemdeterminacjiregresji.
Zporównaniapowyższychtestówwynika9żezasadyilorazuwiarygodno-
ści9WaldaimnożnikówLagrange3aopartesąnaróżnychsposobachpomiaru
odległościmiędzyoszacowaniem
θ
̂awartością
θ
0zhipotezyzerowej.TestWal-
dasformułowanyjestwterminachróżnicy
θ
̂
*−
θ
09testilorazuwiarygodności
wterminachróżnicylogL
((
θ
09
θ
̃
**
)
9x
)
−logL
(
θ
̂9x
)
9natomiasttestmnożników
Lagrange3awykorzystujepochodnąs
((
θ
09
θ
̃
**
))
wpunkciewyznaczonymprzez
restrykcję
θ
*=
θ
0.Zasadailorazuwiarygodnościsprawdzazatemróżnicęwpo-
ziomie9Walda-wpoziomie9amnożnikówLagrange3a-nachyleniefunkcji
wiarygodności.
Asymptotycznarównoważnośćtestówilorazuwiarygodności9Waldaimnoż-
nikówLagrange3awynikaznastępującegotwierdzenia(Engle[1982]).
