Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.Testystatystyczneidecyzjestatystyczne
23
Ztwierdzenia1.2.wynika9żedladużychpróbrozkładlogarytmicznejtrans-
formacjiilorazuwiarygodnościmożnaaproksymowaćrozkładem
χ
2zliczbą
stopniswobodyrównąliczbieestymowanychmetodąnajwiększejwiarygodności
parametrówpomniejszonąoliczbęparametrówzakłócających.
Wprzypadkuhipotezjednostronnych9tzn.postaciH
0:
θ
<
θ
0lubH
0:
θ
>
θ
09
koncepcjęilorazuwiarygodnościmożnawykorzystaćdoznajdowaniatestówjed-
nostajnienajmocniejszych.Istnienietestówjednostajnienajmocniejszychmożna
pokazaćdlatestówztzw.monotonicznymilorazemwiarygodności.
Niech
{
P
θ:
θ
∈Θ
}
będzierodzinąrozkładówprawdopodobieństwa9gdzie
ΘjestpewnymprzedziałemnaprostejiniechrozkładyP
θmajągęstościf
θ.Przyj-
mujemy9żerodzina
{
P
θ:
θ
∈Θ
}
mamonotonicznyilorazwiarygodności(wzglę-
demstatystykiT)9jeżeliistniejefunkcjaT:
χ
n→R,takażedla
θ
0<
θ
1iloraz
jestniemalejącąfunkcjąT
(
x
)
.
Ograniczeniemstosowaniatestuilorazuwiarygodnościwpraktycejestfakt9
żewymagaonestymatorówMNWzarównozrestrykcjami9jakibezrestrykcji.
Dwieinneprocedurytestowe-testWaldaitestmnożnikówLagrange3a9również
bazującenaMNW-omijajątenproblem.
IdeatestuWaldapoleganawykorzystaniuspostrzeżenia9żejeżelirestryk-
cja
θ
∈Θ
09lubinaczej
θ
*=
θ
0jestprawdziwa9toestymator
θ
̂
*uzyskanymetodą
MNWbezrestrykcjipowinienjąwprzybliżeniuspełniać.Wprzeciwnymprzy-
padkuwartość
θ
̂
*−
θ
0powinnabyćbardziejoddalonaod09niżwynikałobyzna-
turalnejzmiennościestymatora
θ
̂
*.
StatystykątestuWaldanazywamystatystykępostaci:
W=
(
θ
̂
*−
θ
0
)
T
(
V̂ar2
as
(
θ
̂
*
))(
θ
̂
*−
θ
0
)
9
(1.24)
gdzieV̂ar2
as
(
θ
̂
*
)
jestoszacowaniemwariancjiasymptotycznegorozkładuestyma-
tora
θ
̂
*.
Dużewartościpowyższejstatystykiświadcząoniespełnieniurestrykcji
θ
∈Θ
0.
Twierdzenie1.3.Jeżelispełnionesąwarunkiregularności(1-3)ihipotezaH
0
jestprawdziwa9to:
W~
as
χ
2
(m-r).
(1.25)
Wprzypadkugdytestowanajestpojedynczarestrykcja9testWaldajestodpo-
wiednikiempopularnegotestukorzystającegozrozkładunormalnego.Wówczas
statystykatestuWaldajestkwadratemstatystykitestuUogranicznymrozkładzie
normalnymimagranicznyrozkład
χ
2
(1).
