Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.GENEROWANIETOPOLOGII,BAZYIPODBAZY
13
Zdefinicjiwynika,żekażdypodzbiórprzestrzenitopologicznejXjestprze-
strzeniątopologicznąztopologiądziedziczonązprzestrzeniX.JeśliY™X
jestpodzbioremotwartym(domkniętym),tomówimyteż,żeYjestpodprze-
strzeniąotwartą(domkniętą).Podobnie,jeśliYztopologiądziedziczo-
nązXjestprzestrzeniądyskretną,tomówimy,żeYjestpodprzestrzenią
dyskretną.Zauważmy,żetopologianaturalnawzbiorzeliczbnaturalnych
NdziedziczonazRjestdyskretna,bodlakażdejliczbynaturalnejistnieje
przedziałotwarty,któryzawieratylkotęjednąliczbę.Przecięciazbiorówba-
zowychwXzpodprzestrzeniąYtworząbazęwpodprzestrzeniY,aprzecięcia
zbiorówpodbazowychzpodprzestrzeniątworząpodbazęwtejpodprzestrzeni.
Przyk≥ad1.1.17(przestrzeńliczbwymiernychiniewymiernych).Ponie-
ważwkażdymniepustymprzedzialeotwartymjestliczbaniewymierna,to
przestrzeńliczbwymiernychztopologiądziedziczonązRmabazęzłożoną
zezbiorówpostaci(xjg)flQ,gdziexjgEP=R\Q.Skorojednakxigsą
niewymierne,to(xjg)flQ=[xjg]flQ,awięcQmabazęzłożonązezbiorów
domknięto-otwartych.Jestzatemprzestrzeniązerowymiarową.PrzestrzeńQ
mateżbazęzłożonązezbiorówpostaci(Tjw)flQ,gdzieTjwEQ,awięcma
złożonązezbiorówdomknięto-otwartych.Argumentującpodobnie,stwierdza-
my,żetakżeprzestrzeńPliczbniewymiernychjestzerowymiarowaimabazę
przeliczalną.
˚
TopologianaturalnawzbiorzeRobciętadoprzedziałuI=[0j1]jesttaka
samajaktopologiawyznaczonaprzezporządekwprzedziale[0j1].Podbazę
tejtopologiitworzyrodzinaprzedziałów
{[0ja):aE(0j1)}fi{(bj1]:bE(0j1)}.
(1.5)
Nietrudnozauważyć,żejesttorodzinawszystkichprzecięćzbioru[0j1]zprze-
działamipostaci(Ωja)oraz(bjæ),któretworząpodbazętopologiinaturalnej
wR.NaogółtopologiaporządkowanazbiorzeXobciętadopodzbioruY™X
możemiećwięcejzbiorówotwartychniżtopologiaporządkowawyznaczona
przykład,wtopologiiprzestrzeniY={≠1}fi(0j1]™X=Rdziedziczo-
nejzprzestrzeniRpunktx=≠1jestizolowany,awtopologiiporządkowej
wyznaczonejprzezporządekdziedziczonyzRjestpunktemskupieniatego
zbioru.
Ważnymprzykłademtopologiiwyznaczonejprzezporządekjestprzestrzeń
zilustrowaniakilkupojęćtopologicznych.Terazjeszczejednadefinicja.
12Wieleinformacjioprzestrzeniachliniowouporządkowanychiichpodprzestrzeniach