Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
jestbazątejtopologii,bojejelementysązbioramiotwartymi.Faktycznie,jeśli
gEx+nZ,tog=x+nzodlapewnegozoEZ,awięc
gE(x+nzo)+nZ=x+n(zo+Z)=x+nZ.
ElementyrodzinyBsąteżdomkniętewtopologiiFurstenberga,bo
x+nZ=Z\€{(x+i)+nZ:0<i<n}.
(1.4)
Abytoudowodnić,zauważmy,żekażdaliczbacałkowitadzielisięprzezn
zresztąmniejsząniżn,awięc
Z=nZfi(1+nZ)fi...fi(n≠1+nZ).
Aponieważx+Z=Z,todostajemystąd
Z=(x+nZ)fi(x+1+nZ)fi...fi(x+n≠1+nZ).
Jednocześnie,jeśli0Śi<j<n,to(x+i+nZ)fl(x+j+nZ)=ÿ.Rzeczy-
wiście,wprzeciwnymraziemusiałybyistniećtakieliczbycałkowiteaib,że
x+i+na=x+j+nb,czylin(a≠b)=j≠i,atojestniemożliwe,boj≠inie
dzielisięprzezn.Wykazaliśmy,żezbioryx+i+nZdlaiE{0j1j...jn≠1}są
taoznacza,żeelementybazyBsązbioramidomknięto-otwartymi.Nieoczeki-
nieskończony.Faktycznie,każdaliczbacałkowitaróżnaod1oraz≠1dzielisię
przezpewnąliczbępierwszą,awięc
Z\{1j≠1}=€{pZ:pEP}.
GdybywięczbiórPbyłskończony,tozbiórZ\{1j≠1}byłbydomkniętyjako
sumaskończeniewieluzbiorówdomkniętych.Tojednakjestniemożliwe,bo
Abyprzedstawićbardziejzłożoneprzykładyprzestrzenitopologicznych
omówimypojęciepodprzestrzeni.Zauważmy,żejeślinazbiorzeXokreślona
jesttopologiaT,aY™X,torodzina
TrY={UflY:UET}
spełniapostulatytopologii.Faktycznie,Y=YflXETrYboXET.
Podobnie,jeśliUflYETrYorazVflYETrY,to(UflY)fl(VflY)=
(UflV)flYETrY.Zprawadystrybutywnościwynika,żedlakażdejrodziny
R™TmamytRflY=t{UflY:UER}.RodzinaTrYspełniazatem
Definicja1.1.16(podprzestrzeń).Jeśli(XjT)jestprzestrzeni!topolo-
giczn!,aY™X,tozbiórYztopologi!TrYnazywamypodprzestrzenią
przestrzeniX.TopologięTrYnazywamytopologiąobciętądozbioruY
lubtopologiązacieśnionądozbioruY.Mówimyteż,żetopologiawYjest
dziedziczonazX.
11Innyprzykładzwiązkuteoriiliczbztopologiąspotkamywrozdziale5przyomawianiu
