Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.GENEROWANIETOPOLOGII,BAZYIPODBAZY
11
żew(R)=Ê.Wynikatozdefinicjitopologiinazbiorzeliniowouporządko-
przeliczalniewieluprzedziałówokońcachwymiernych,bopomiędzykażdymi
dwomaliczbamirzeczywistymijestliczbawymierna.Odnotujmydwieważne
własnościbazy.
Lemat1.1.12.JeśliRjestrodzin!zbiorówotwartychwprzestrzeniX,to
istniejetakapodrodzinaW™R,że|W|Św(X)oraztW=tR.
Dowód.NiechBbędzietakąbaząwprzestrzeniX,że|B|=w(X).Dla
każdegoxEtRwybierzmytakieUER,żexEU,itakieotoczenieUxEB
punktux,żexEUx™U.Skoro|B|=w(X),toU={Ux:xEtR}jestmocy
conajwyżejw(X).PonieważkażdyzezbiorówUxjestzawartywpewnym
elemencierodzinyR,todlakażdegoUEUmożemywybraćdokładniejedno
takieW(U)ER,żeU™W(U).WówczasrodzinaW={W(U):UEU}jest
mocyconajwyżejw(X)oraztW=tR.
⇤
Lemat1.1.13.Jeśliw(X)≥Ê,todlakażdejbazyBwprzestrzeniX
istniejetakabazaBÕ™B,że|BÕ|=w(X).
Dowód.NiechSbędzietakąbaząwX,że|S|=w(X).Namocylema-
orazU=tBU.WówczasBÕ=t{BU:UES}jestbaząwprzestrzeniX,
ajednocześnie|BÕ|Św(X)·w(X)=w(X).
⇤
Definicja1.1.14(przestrzeńzerowymiarowa).Przestrzeń,którejtopolo-
giamabazęzłożon!zezbiorówdomknięto-otwartych,nazywamyprzestrzeni!
zerowymiarową1o.
Każdaprzestrzeńdyskretnajestzerowymiarowa.Takżeprzestrzeńzjed-
wszystkiezbioryjednopunktowe,zwyjątkiemxo,sądomknięto-otwarte,ado-
pełnieniaotoczeńpunktuxotakżesąotwarte.Przestrzeniązerowymiarową
Kolejnyprzekładprzestrzenizerowymiarowejjestmniejoczywisty.
Przyk≥ad1.1.15(przestrzeńFurstenbergajestzerowymiarowa).Zdefi-
B={x+nZ:xEZoraznEN}
9Nazbiorzeskończonymkażdatopologiamaskończeniewieleelementów.Abyniewcho-
dzićwzagadnieniakombinatoryczne,będziemyzakładali,żewszystkierozważanetuprze-
strzeniesąnieskończone,awszystkieliczbykardynalneznimizwiązane,takiejaknaprzy-
kładwaga,takżesąnieskończone.
1oPrzestrzeniezerowymiaroweodgrywająważnąrolewlogice,teoriimnogościorazteorii