Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.METRYKA,WNĘTRZEIDOMKNIĘCIEZBIORU
21
WprzypadkugdyistniejetakiezEX,żex<z<g,towystarczyjako
otoczeniarozłącznetychpunktówprzyjąćUx=(Ωjz)orazUy=(zjæ).
WprzeciwnymprzypadkuprzyjmujemyUx=(Ωjg)orazUy=(xjæ).
⇤
KlasęszersząodprzestrzeniHausdorIatworząprzestrzenietypuT1.
Definicja1.2.13(przestrzenietypuT1).Przestrzenie,wktórychpod-
zbioryjednopunktowes!domknięte,nazywamyprzestrzeniamitypuT1lub
T1-przestrzeniami.
nieHausdorIasątypuT1,bojeśligEX\{x},aUxiUysąotoczeniami
rozłącznymipunktówxig,togEUy™X\{x}.Przestrzeńopisanawprzy-
bokażdedwaniepustezbioryotwartewtejprzestrzenisięprzecinają.
KlasęogólniejsząodprzestrzenitypuT1tworząwprowadzoneprzezKoł-
przestrzeniamiKołmogorowa.
Definicja1.2.14(przestrzenietypuTo).PrzestrzeńtopologicznaXjest
typuTolubTo-przestrzenią,gdydladowolnychdwóchróżnychpunktów
zbioruXistniejetakipodzbiórotwartyzbioruX,któryzawierajedenztych
punktów,aniezawieradrugiego.
KażdaprzestrzeńtypuT1jestteżtypuTo.Zauważmy,żejeśliprzestrzeń
typuTojestzerowymiarowa,tojesttypuT1.PrzykłademprzestrzenitypuTo,
któraniejesttypuT1,jestprzestrzeńX={0j1},wktórejjedynymizbiorami
otwartymi,opróczXiÿ,jestzbiórjednopunktowy{0}.PrzestrzenietypuTo
spełniająnaturalneoczekiwanie,byzbioryotwartewpewnymsensieoddzie-
lałypunkty.Przestrzenietemajązastosowaniawtakichdziałachmatematyki
DlaprzestrzenitypuToprawdziwajestnastępującanierówność
|X|Ś2w(X).
(1.9)
Faktycznie,jeśliBjestbazą,tofunkcjaÏ:XæD(B)danawzorem
Ï(x)={UEB:xEU}
jestróżnowartościowa,gdyXjestprzestrzeniątypuTo.Wszczególnościkażda
przestrzeńtypuTozbaząprzeliczalnąmaconajwyżej2Êpunktów.Oczywi-
ście,przestrzenieztopologiąantydyskretnąmogąmiećdowolniewielepuntów.
Opróczmetrykiiporządku,sposobemwprowadzaniatopologiinazbiorze
jestoperacjawnętrzazbioruorazdwoistadoniejoperacjadomknięcia.
17WięcejinformacjinatentematmożnaznaleźćwartykuleHofmannaTheLowSepa-
zastosowaniatejteoriiwinformatyceteoretycznej;p.takżeartykułKongaiKoppermana