Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
PRZESTRZENIETOPOLOGICZNE
Definicja1.2.15(wnętrzeidomknięciezbioru).Jeśli(XjT)jestprze-
strzeni!topologiczn!,townętrzemzbioruA™Xnazywamyzbiór
IntTA=€{UET:U™A}j
adomknięciemzbioruAnazywamyzbiór
clTA=‹{F™X:A™ForazX\FET}.
Ponieważsumadowolnejrodzinyzbiorówotwartychjestzbioremotwar-
tym,toIntTAjestnajwiększymzbioremotwartymzawartymwA.Podob-
nie,ponieważiloczyndowolnejrodzinyzbiorówdomkniętychjestzbioremdo-
mkniętym,toclTAjestnajmniejszymzbioremdomkniętymzawierającymA.
Gdyniezachodziobawaonieporozumienie,naprzykładwtedy,gdynada-
nymzbiorzejestustalonatopologia,tozamiastIntTApiszemykrótkoIntA,
pologiajestokreślonanazbiorzeX,zamiastkrótkiegoIntAorazclApiszemy
odpowiednioIntXAorazclXA.
JeśliY™X,aTjesttopologiąnaX,totopologiaTrYdziedziczona
wynika,żedomknięciewpodprzestrzeniwyrażasięwzorem
clYA=YflclA.
(1.10)
Twierdzenie1.2.16.DlakażdejprzestrzenitopologicznejXidladowol-
nychzbiorówAjB™Xzachodz!następuj!cewzory:
(1)IntA=Awtedyitylkowtedy,gdyzbiórAjestotwarty;
(2)clA=Awtedyitylkowtedy,gdyzbiórAjestdomknięty;
(3)IntX=clX=XorazIntÿ=clÿ=ÿ;
(4)IntA™A™clA;
(5)jeśliA™B,toIntA™IntBorazclA™clB;
(6)Int(AflB)=IntAflIntBorazcl(AfiB)=clAficlB;
(7)Int(IntA)=IntAorazcl(clA)=clA.
Dowód.Warunki(1)i(2)wynikająztego,żesumadowolnejrodziny
zbiorówotwartychjestzbioremotwartym,aprzecięciedowolnejrodzinyzbio-
rówdomkniętychjestzbioremdomkniętym.Warunek(3)wynikazfaktu,że
zbioryXiÿsądomknięto-otwarte.Dladowoduwarunku(4)wystarczyza-
uważyć,żejeśliwszystkiezbioryrodzinyRsązawartewA,tozbiórtRjest
takżezawartywA,ajeślizbiórAzawierasięwkażdymelemencierodzinyR,
tozawierasięwuR.JeśliA™B,to
IntA=€{UET:U™A}™€{UET:U™B}=IntB
ipodobnie
clA=‹{F™X:A™ForazX\FET}™
™‹{F™X:B™ForazX\FET}=clBj
18WnętrzezbiorubywateżoznaczanejakointAlubA¶,adomknięciejakoClAlubA.
