Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.METRYKA,WNĘTRZEIDOMKNIĘCIEZBIORU
23
bo{F™X:B™ForazX\FET}™{F™X:A™ForazX\FET}.To
dowodziwarunku(5),zktóregowszczególnościwynika,żeInt(AflB)™IntA
orazInt(AflB)™IntB,boAflB™AorazAflB™B.Todajeinkluzję
Int(AflB)™IntAflIntB.Inkluzjaprzeciwnawynikazwarunku(4)iztego,
żeIntAflIntBjestzbioremotwartym.Todowodzipierwszejczęściwarunku
(6).Dowóddrugiejczęścijestanalogiczny.Warunek(7)wynikazwarunków
(1)i(2)orazztego,żeIntAjestzbioremotwartym,aclAjestzbiorem
domkniętym.
⇤
Zwarunku(5)powyższegotwierdzeniawynikawszczególności,żejeśli
U™Xjestzbioremotwartym,todlakażdegozbioruA™Xmamy
UflA=ÿ=∆UflclA=ÿ.
(1.11)
Faktycznie,jeśliUflA=ÿ,toA™X\U,awięcclA™cl(X\U)=X\U,
boX\Ujestzbioremdomkniętym.
zdefiniowanaaksjomatyczniejakooperacja,którakażdemuzbiorowiprzypo-
rządkowujejegodomknięciewtakisposób,żedomknięciesumyjestsumą
domknięć,każdyzbiórjestzawartywswoimdomknięciu,domknięciezbioru
pustegojestpuste,adomknięciedomknięciazbiorujestrównejegodomknię-
ciu.Domknięciemożnawięcrozumiećjakoaksjomatycznyopisintuicyjnego
pojęciapunktówdowolniebliskichdanegozbioru.Zgodniezintuicjąliczby
niewymierneznajdująsiędowolniebliskozbioruliczbwymiernych,choćdo
niegonienależą.
Twierdzenie1.2.17(twierdzenieKuratowskiego).Załóżmy,żefunkcja
0:D(X)æD(X)spełniadladowolnychAjB™Xnastępuj!cewarunki:
(1)0(ÿ)=ÿ,
(2)A™0(A),
(3)0(AfiB)=0(A)fi0(B),
(4)0(0(A))=0(A).
WówczasrodzinaT={X\A™X:0(A)=A}jesttopologi!naXoraz
clTA=0(A)dlakażdegoA™X.
Dowód.Zwarunku(1)wynika,żeXET.Natomiastzwarunku(3)
iprawdeMorganawynika,żejeśliUjVET,toUflVET.Z(3)wynika,że
A™B=∆0(A)™0(B)j
(ú)
bojeśliA™B,toAfiB=B,czyli0(B)=0(AfiB)=0(A)fi0(B).To
oznacza,że0(A)™0(B).Dladowodu,żeTjesttopologiąustalmydowolną
rodzinęR™T.ZachodzirównośćtR=X\u{X\U:UER},azatem,
abywykazać,żetRETwystarczysprawdzić,że
0(‹{X\U:UER})=‹{X\U:UER}.
