Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.METRYKA,WNĘTRZEIDOMKNIĘCIEZBIORU
25
NietrudnowskazaćpodzbiórzbioruRliczbrzeczywistychztopologiąnatu-
ralną,którytorealizuje.Jestnimnaprzykładzbiór
A=((≠1j1)\{0})fi((2j3)flQ)fi{4}.
Definicja1.2.20(zbioryregularnieotwarte,regularniedomknięte).Zbiór
U™XjestregularnieotwartywprzestrzeniX,gdyIntclU=UjaF™X
jestregularniedomknięty,gdyclIntF=F.Rodzinęwszystkichpodzbio-
rówregularnieotwartychwprzestrzeniXoznaczamyjakoRO(X),arodzinę
wszystkichpodzbiorówregularniedomkniętychjakoRC(X).
mnogości.Zauważmy,żeelementyrodzinyRO(X)sązbioramiotwartymi,
aelementyrodzinyRC(X)zbioramidomkniętymi.
Lemat1.2.21.JeśliUERO(X),toX\UERC(X),ajeśliFERC(X),
toX\FERO(X).
Dowód.Załóżmy,żezbiórU™Xjestregularnieotwarty.Wówczasna
X\U=cl(X\clU).Jednocześnienamocytegosamegolematumamy
clInt(X\U)=cl(X\cl(X\(X\U)))=cl(X\clU)j
awięcclInt(X\U)=X\U.Drugączęśćtezydowodzisięanalogicznie.
⇤
Wniosek1.2.22.JeśliFjestzbioremdomkniętym,aUzbioremotwar-
tym,toIntFERO(X),aclUERC(X).
Dowód.Faktycznie,skoroclF=F,to
IntclIntF=IntclIntclF=IntclF=IntFj
cokończydowód.
⇤
Domknięcieiloczynuzbiorówniejesttymsamym,coiloczynichdomknięć.
WidaćtowprzestrzeniRnaprzykładziedwóchprzedziałówotwartychstyka-
jącychsiękońcami.Tosamodotyczywnętrzasumyzbiorów.Zachodzijednak
następującyważnyzwiązekmiędzytymioperacjami.
Twierdzenie1.2.23.JeślizbioryUjV™Xs!otwarte,to
Intcl(UflV)=IntclUflIntclV.
idziedzinamidomkniętymi.