Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
40
2.Modelejednorównanioweliniowe
WKMNRLestymatorMNKmak-wymiarowyrozkładnormalny,tj.:
a∼Nk(ł7σ
2(XTX)11).
Nieobciążonymestymatoremwariancjiskładnikalosowegoσ2jestwariancjaresz-
towaS2
e.Wzórmacierzowy:
S2
e=
n1k
1
e
Te=
n1k
1
(y1ˆ
y)T(y1ˆ
y)=
n1k
1
(y1Xa)T(y1Xa)=
=
n1k
1
(yTy1aTXTy)7
(2.14)
gdzie:n—liczbaobserwacji;k—liczbaszacowanychparametrówstrukturalnych24;
n1k—liczbastopniswobody;ˆ
y=Xa—wektorwartościteoretycznych;e=y1ˆ
y
—wektorreszt.
Wzórskalarny:
S2
e=
n1k
1
Σ
t=1
N
e2
t.
Pierwiastekkwadratowyzwariancjiresztowej:
Se=dS2
e
(2.15)
(2.16)
nazywamyodchyleniemstandardowymresztowym.Informujeonooileśredniowar-
tościteoretycznezmiennejendogenicznej(wynikającezmodelu—ˆ
yt)różniąsięinplus
lubinminusodjejwartościempirycznych(zaobserwowanych)yt.
NieobciążonymestymatoremmacierzywariancjiikowariancjiestymatoraMNK,tj.
macierzyV(a)=σ2(XTX)11jestmacierzwariancjiikowariancjiocenparametrów
strukturalnych:
D
2(a)=S2
e(XTX)11.
(2.17)
Pierwiastekkwadratowyzj-tegoelementudiagonalnegomacierzyD2(a),który
zwykleoznaczamysymbolemD(aj),nazywanyjestbłędemśrednimszacunkuoceny
aj.InformujeonoileśredniowyznaczonaMNKocenaajmożeróżnićsięinpluslubin
minusodrzeczywistejwartościparametruuj.Jestonzatemindykatoremjakości(pre-
cyzji)oszacowaniadanegowspółczynnikaregresji.
Jeżelielementymacierzy(XTX)11oznaczymyjakodij,tzn.(XTX)11=[dij],to:
V(uj)=σ2djj—wariancjaj-tegoparametruregresji,
D2(aj)=S2
edjj—ocenawariancjij-tegoparametruregresji,
D(aj)=dS2
eldjj=Seddjj—ocenabłęduśredniegoszacunkuj-tegoparametru
regresji.
24Wpodręcznikuprzyjęto,żektoliczbaparametrówstrukturalnychmodelu,aKtoliczbazmiennych
objaśniających,przyczymwmodeluliniowymzwyrazemwolnymk=K+1.
