Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawyalgebry,Warszawa2008
ISBN978-83-01-14252-0,©byWNPWN2004
2
ROZDZIAŁ1.POCZĄTKIALGEBRY
Materiałtegorozdziałuniewykraczazbytdalekopozaprogramszkolny.Od
Czytelnikaoczekujesięjedyniegotowościdospojrzeniazniecowyższegopoziomu.
Lekturęmożnazacząćod§3.
§1.KRÓTKOOHISTORII
Mówimydzisiajsłusznieonalgebraizacji”matematyki,tj.oprzeniknięciumetod
iduchaalgebrydowszystkich,teoretycznychistosowanych,gałęzimatematyki.
DajesiętoszczególniezaobserwowaćodpołowyXXwieku,cowcalenieznaczy,
żebyłotakzawsze.Matematyka,podobniejakinnesferyludzkiejdziałalności,
podlegawpływowimody.Modanametodyalgebraicznewzięłasięzkonieczności,
leczfascynacjanimiprzechodziniekiedyrozsądnegranice.Aponieważzaciemnia-
jącaistotęrzeczyotoczkaalgebraicznajestniemniejszymzłemniżlekceważenie
algebrywogóle,nieprzypadkowo(icałkowiciesłusznie)zazasługędanegoautora
uważasięjużsamfakt,żetalubinnajegoksiążkaniejestprzeciążonaformali-
zmemalgebraicznym.
Jeślipominąćskrajności,toalgebrastanowiłazawszeistotnączęśćmatema-
tyki.Tosamonależałobypowiedziećogeometrii—alewtymmiejscuwyręczymy
sięcelnympowiedzeniemSophieGermain(wiekXIX):nAlgebratonicinnegojak
symbolicznyzapisgeometrii,geometriazaś—toalgebraucieleśnionawfigurach”.
Odtamtychczasówsytuacjauległazmianie,alenaogółnprzyznajesię,żenatura
obiektówmatematycznychjestwrzeczywistościsprawądrugorzędnąiniemana
przykładwiększegoznaczenia,czyprzedstawimydanyrezultatjakotwierdzenie
czystejgeometrii,czyteż,zapomocągeometriianalitycznej,jakotwierdzenie
algebraiczne”(N.Bourbaki).
Zgodniezzasadą,żenważnesąnieobiektymatematyczne,alerelacjemiędzy
nimi”,definiujesięalgebrę(niecotautologicznieiwsposóbcałkowicieniezrozu-
miałydlaniewtajemniczonych)jakonaukęodziałaniachalgebraicznychwyko-
nywanychnaelementachróżnychzbiorów.Samedziałaniaalgebraicznewyrosły
zelementarnejarytmetyki.Zdrugiejstrony,rozumowaniazużyciempojęćal-
gebrypozwalajądziśotrzymywaćnajbardziejnaturalnedowodywielufaktów
znarytmetykiwyższej”,czyliteoriiliczb.
Znaczeniestrukturalgebraicznych—zbiorówzdziałaniami—wychodzijed-
nakdalekopozagranicezastosowańteorioliczbowych.Wieleobiektówmatema-
tycznych(przestrzenietopologiczne,funkcjewieluzmiennychzespolonychitd.)
badasię,przypisującimpewnestrukturyalgebraiczne,którechoćnaogółniesą
całkowicieadekwatne,oddająjednakistotnecechybadanegoobiektu.Podobnie
rzeczsięmazpewnymiobiektamirealnejrzeczywistości.
Otojakipoglądnatentematwypowiedziałponad50lattemuPaulDirac,je-
denztwórcówmechanikikwantowej:nWspółczesnafizykawymagacorazbardziej
abstrakcyjnejmatematykiirozwijaniajejpodstaw.Otonaprzykładgeometria
