Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
A.I.Kostrikin,Wst
ę
pdoalgebry.Podstawyalgebry,Warszawa2008
ISBN978-83-01-14252-0,©byWNPWN2004
§3.UKŁADYRÓWNAŃLINIOWYCH.PIERWSZEKROKI
Rys.4
11
zprawąstronątd=−273j−100j−50j0j50j100,lub300(zob.rys.3).Wszystkie
terównaniadadząukładpostaci(2)zn=m=416.Współczynnikiprzyniewia-
domychtżsąrówne0(wwiększości),−1lub4.Czyukładtenjestniesprzeczny
ioznaczony?Otrzymaliśmyinne,matematycznieprecyzyjnesformułowanieza-
gadnienia,któremiałopostaćjakościową.Pytanieoistnienieijednoznacznośćjest
typowedlawieludziałówmatematykizwiązanychzbadaniemzjawiskfizycznych.
2.Równoważnośćukładówliniowych.Załóżmy,żedanyjestjeszczejeden
układliniowynotychsamychwymiarach”:
a!
11x1+...+a
!
1nxn=b
!
1j
...........................
a!
m1x1+...+a
!
mnxn=b
!
m.
(2!)
Powiemy,żeukład(2!)powstałz(2)wwynikuoperacjielementarnejtypu(I),
jeśliwszystkierównaniaukładu(2),pozaź-tymik-tym,pozostałyniezmienione,
arównaniaź-teik-tezamienionomiejscami.Jeśliw(2!)wszystkierównaniapoza
ź-tymsątakiesamejakw(2),aź-terównaniejestpostaci
(aż1+cak1)x1+...+(ażn+cakn)xn=bż+cbkj
(∗)
gdziecjestustalonąliczbą(tzn.a!
żj=ażj+cakj,b!
ż=bż+cbk),tomówimy,że
doukładu(2)zastosowaliśmyoperacjęelementarnątypu(II).
Układyliniowe(2)i(2!)nazywamyrównoważnymi,jeślisąalboobasprzeczne,
alboobaniesprzeczneimajątesamerozwiązania.
Jeślirównoważnośćukładów(a)i(b)oznaczymysymbolem(a)∼(b),tołatwo
zauważyć,że(a)∼(a),z(a)∼(b)wynika(b)∼(a),az(a)∼(b)i(b)∼(c)
wynika(a)∼(c).
Następującetwierdzeniepodajewarunekdostatecznyrównoważnościukła-
dów:
TWIERDZENIE1.Jeślijedenukładliniowymożnaotrzymaćzdrugiego,wyko-
nującskończonąliczbęoperacjielementarnych,toukładytesąrównoważne.
Dowód.Wystarczywykazaćrównoważnośćukładu(2)iukładu(2!)powstają-
cegoz(2)przezzastosowaniejednejoperacjielementarnej.Zauważmy,żewówczas
