Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
ROZDZIAŁ1.PRZESTRZENIEIFORMY
będzienietrywialnązależnościąliniową.Wówczas
m
k-m
l-m
Σ
γses+
Σ
αiai=−
Σ
Bjbj,
s=1
i=1
j=1
gdzielewastronarównościnależydoU,aprawadoW.Oznaczato,żemamy
tutajwektorzU∩Wimożemynapisać−Σ
l-m
j=1Bjbj=Σ
m
s=1δses,czyli
Σ
s=1
m
δses+
l-m
Σ
j=1
Bjbj=0.
Aleliniowazależnośćmiędzywektoramibazowymie1,...,em,b1,...,bl-mpod-
przestrzeniWmusibyćtrywialna.WszczególnościB1=...=Bl-m=0izwiązek
(∗),będącyterazliniowązależnościąwektorówbazowyche1,...,em,a1,...,ak-m
przestrzeniU,równieżmusibyćtrywialny:γ1=...=γm=α1=...=αk-m=0.
Wtensposóbosiągnęliśmyszukanąsprzeczność.
PonieważwymiarsumyU+WnieprzekraczawymiaruprzestrzeniV,ztwier-
dzenia6możnaczęstowywnioskowaćnietrywialnośćczęściwspólnejpodprze-
strzeni.Naprzykładdwiepłaszczyznywprzestrzenitrójwymiarowejlubdwie
podprzestrzenietrójwymiarowewpięciowymiarowejprzestrzeniliniowejmająza-
wszewspólnąprostą,ponieważwobuwypadkachdimU+dimW>dimV.
Uwaga2.Wn-wymiarowejprzestrzeniVistniejąpodprzestrzeniewszystkich
mniejszychwymiarów,oczymsięłatwoprzekonać,rozpatrującłańcuchpodprze-
strzeni
{0}⊂V1⊂V2⊂...⊂Vn-1⊂Vn=V=(e1,...,en),
gdzieVi=(e1,...,ei).Jednowymiaroweprzestrzenieliniowenazywamypro-
stymi,adwuwymiarowe—płaszczyznami.NiechUbędziepodprzestrzenią
(skończeniewymiarowej)przestrzeniliniowejV.Różnicę
codimU=dimV−dimU
nazywamykowymiarempodprzestrzeniU.Dowolnąpodprzestrzeńkowymiaru1
nazywamyhiperpłaszczyzną.Pojęciehiperpłaszczyznymacharakterwzględny:
prostajesthiperpłaszczyznąwdwuwymiarowejprzestrzeniliniowejW,aleprze-
stajeniąbyć,gdyrozpatrujemyWjakopłaszczyznęwprzestrzeniliniowejV
wyższegowymiaru.
5.Sumyproste.Wsumiealgebraicznejniezerowychpodprzestrzeniliniowych
U=U1+...+Um
każdywektoru∈Umożnazapisaćwpostaci
u=u1+...+um,
ui∈Ui,
alezapistakiniejestnaogółjednoznaczny.
(8)
(9)
