Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Podrozmaitościprzestrzeniafinicznych
13
Rys.1.3
tuxwRn,żeM∩W=011(RmX{0}).ObcięcieO:W∩M→O(W∩M)⊂Rm
dyfeomorfizmu0nazywamylokalnymukłademwspółrzędnychlubmapą
napodrozmaitościM(rys.1.3).
1.15.Uwaga.
Rozmaitości1-wymiarowenazywamykrzywymigładkimi,
arozmaitości2-wymiarowe—powierzchniamigładkimi.
Niżejpodamytrzynaturalnecharakteryzacjerozmaitości.
1.16.Definicja.
Immersjap:U→RnpodzbioruotwartegoUwRm,która
jesthomeomorfizmemUnazbiórp(U)rozpatrywanyztopologiąindukowaną
zRn,nazywasięparametryzacjązbiorup(U).Zbiórp(U)nazywasięwtedy
m-wymiarowympłatem.
1.17.Stwierdzenie.
NiepustypodzbiórM⊂Rnjestm-wymiarowąpod-
rozmaitościąRnwtedyitylkowtedy,gdydlakażdegoxo∈Mistniejepara-
metryzacjapewnegootoczeniaxowM.
Dowód.
=⇒:
DlaxoistniejeotoczenieW
itakidyfeomorfizm
0:W→0(W)⊂Rn,żeM∩W=011(RmX{0}).Wtedytezęspełnia
p:=011|Φ(W)∩(Rm×{o}).
⇐=:
Niechp:U→p(U)będziedanąparametryzacją,xo=p(uo).
Ztwierdzeniaoimmersji(1.10.)wynika,żeistniejetakidyfeomorfizm
0:W→0(W)⊂RnpewnegootoczeniaWpunktuxo=p(uo)wRn,że
Rys.1.4
