Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
1.Rachunekzdań
Wartośćlogicznazdańzłożonych,utworzonychzapomocąpowyższych
spójników,zależyodwartościlogicznychzdańprostychwnastępującysposób:
p
0
1
¬p
1
0
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p∨q
0
1
1
1
p∧q
0
0
0
1
p⇒q
1
1
0
1
p⇔q
1
0
0
1
Wniektórychzdaniachzawartychwtychtabelkachmożemymówićozgod-
nościzpotocznąintuicją.Istotnie,oczekiwalibyśmy,żezaprzeczeniezdaniapraw-
dziwegobędziezdaniemfałszywym(inaodwrót),itakfaktyczniejest.Podobnie
jestwprzypadkualternatywyikoniunkcjizdań.Zdanieplubqjestprawdziwe,
gdyktóreśzezdańskładowychjestprawdziwe,azdaniepiq–gdyoba,coteżdość
dobrzeoddajepotoczneznaczeniespójnikówluborazi.Wreszcie,zdaniarówno-
ważnepowinnybyćwjakimśsensietakiesame(wtymwypadkuchodzioich
wartośćlogiczną),itakrównieżjest.Pewienproblemmożemymiećzimplikacją.
Jeśliwiemy,żezezdaniapwynikazdanieq(czylip⇒q),tozdaniepna-
zywamyprzesłanką,założeniemlubpoprzednikiemimplikacji,azdanieq–wnioskiem,
teząlubnastępnikiemimplikacji.Mówimyteżwtedy,żepjestwarunkiemdostatecz-
nymdotego,żeq,zaśqjestwarunkiemkoniecznymdotego,żep.Oczywistewydaje
się,żejeślizałożeniejestprawdziwe,topowinniśmydojśćdoprawdziwegownio-
sku(czyli,żezdanie1⇒1jestprawdziwe,azdanie1⇒0jestfałszywe).Pewną
wątpliwośćmożebudzićsytuacja,gdypoprzednikimplikacjijestfałszywy,gdyż
potocznerozumieniesformułowaniajeślip,toqmożesięniezgadzaćzpodanym
określeniemimplikacji.Wmatematyceprzyjmujemyjednak,żeopierającsięna
fałszywychzałożeniach,możnadojśćdodowolnychwnioskówidlategozarówno
zdanie0⇒0,jaki0⇒1sąprawdziwe.
Budujączdaniabardziejzłożone,wktórychwystępujewiększaliczbaspój-
ników,będziemymusieliużywaćnawiasów(podobniejakwprzypadkuwyrażeń
algebraicznych)wceluzaznaczeniakolejnościużywaniaspójnikówlogicznych.Na
przykład,możemyrozważyćzdanie
(((
(¬p)∧q))⇒p)⇔(p∨q).
(1.1)
Widzimy,żedużaliczbanawiasówczynizdaniemniejczytelnym.Ustalasiępew-
nąhierarchięspójnikówlogicznych(takjakdladziałańalgebraicznych,gdziemno-
żeniewykonujemyprzeddodawaniemiodejmowaniem),dziękiczemuniektóre
znichmożnaopuścić.Najpierwdziałaspójniknegacji,potemrównorzędniespój-
nikikoniunkcjiialternatywy,wreszcierównorzędniespójnikiimplikacjiirówno-
ważności.Zatemuproszczonyzapiszdania(1.1)to
(¬p∧q⇒p)⇔p∨q.
Nawiasymożemyteżopuścić,gdymamydoczynieniazkilkomakolejnymiko-
niunkcjamilubalternatywami–wynikatozfaktu,żeobatespójnikisąłączne,
oczympowiemywpodrozdziale1.3.Czylizamiast(p∨q)∨rmożemynapisać
