Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
WarunkiCauchy’ego-Riemanna
f(z)=z2mamy
∆z→o
lim
(zo+∆z)2−z2
∆z
o
=lim
∆z→o
(2zo+∆z)=2zo.
Zauważmy,żeistnieniepochodnejf/(zo)implikuje
∆z→o
lim
f(zo+∆z)−f(zo)=lim
∆z→o
f(zo+∆z)−f(zo)
∆z
·lim
∆z→o
∆z=0
czyli
∆z→o
lim
f(z)=f(zo)
17
awięcfunkcjaróżniczkowalnajestzkoniecznościciągła!(wdanympunkcie).
Wnioskowanienodwrotne”jestfałszywe–świadczyotymtenprostyprzykład.
Przypuśćmy,żechcemyobliczyćpochodnąfunkcjiw=f(z)=|z|2wpunkcie
zo/=0.Mamy
∆w
∆z
=
|zo+∆z|2−|zo|2
∆z
=
(zo+∆z)(zo+∆z)−zozo
∆z
=zo+∆z+zo
∆z
∆z
Jeżelizmierzamydozopoosirzeczywistej,tozachodzi
∆z=∆x→∆z=∆z→lim
∆z→o
∆w
∆z
=zo+zo;
natomiastprzyzmierzaniuwzdłużosiurojonejmamy
∆z=i∆y→∆z=−∆z→lim
∆z→o
∆w
∆z
=zo−zo.
Obiegranicesąróżneipochodnadlazo/=0nieistnieje,chociażistniejepochodna
wz=0;
f/(0)=0.
Każdąndrogę”prowadzącązdowolnego(znajdującegosięwskończoności)punktu
płaszczyznyCzdowybranegopunktuzomożemytraktowaćjakosekwencjenie-
skończeniemałychprzesunięć,równoległychbądźdoosi0x,bądźdoosi0y.Dlatego
niezależnośćwartościgranicyilorazuróżnicowegooddrogiwystarczysformułować
izweryfikowaćdlaprzyrostuzmiennejzwystępującegowrównaniu(1.27)równego
∆z=∆xbądź∆z=i∆y.
Wpierwszymprzypadkumamy
f
/(z)|
|zlz0=lim
∆x→o
∆f
∆x
=lim
∆x→o
∆u+i∆v
∆x
=
∂u
∂x
+i
∂v
∂x
.
(1.28)
