Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
18
Wdrugim
Funkcjezmiennejzespolonej
f
/(z)|
|zlz0=lim
∆y→o
i∆y
∆f
=lim
∆y→o
∆u+i∆v
i∆y
=−i
∂u
∂y
+
∂v
∂y
.
(1.29)
Równośćczęścirzeczywistejiurojonejwobuprzypadkachprowadzidotakzwanych
warunkówCauchy’ego-Riemanna–warunkówkoniecznych(choćniewystarczają-
cych9)dlaistnieniapochodnej–alboróżniczkowalności–funkcjiwpunkciezo:
∂u
∂x
=
∂v
∂y
j
∂u
∂y
=−
∂v
∂x
.
(1.30)
Funkcjęzmiennejzespolonej,określonąwpewnymobszarzeDziróżniczkowalną
wkażdympunkcietegoobszaru,nazywamyfunkcjąanalitycznąwobszarzeDz.
Odtegomomentunaszezainteresowaniawkontekściefunkcjizmiennejzespolonej
będąograniczałysiędofunkcji,któresąanalityczne.Możnabezwielkiejprzesa-
dypowiedzieć,żenaruszeniewarunkówanalitycznościczynidanąfunkcjęmocno
nieatrakcyjnązpunktujejpotencjalnychzastosowańwopisiesytuacjifizycznych.
1.5.1
KonsekwencjewarunkówCauchy’ego-Riemanna
Rozważmyprostąfunkcjęzmiennejzespolonej
f(z)=
1
z
=
x+iy
1
=
x2+y2
x
+i
x2+y2
−y
≡u(xjy)+iv(xjy).
Jesttofunkcjaokreślonawszędzie(nacałejpłaszczyźnieCz,ajejczęści:rzeczywista
u(xjy)iurojonav(xjy)tworząnaCzrodzinykrzywychorównaniach
(x−C1)
x2+y2
2+y2=C2
x
=
2C1
1
1
oraz
x
2+(y+C2)2==C2
x2+y2
−y
=
2C2
1
2.
albo
albo
Tedwierodzinyokręgów,stycznychodpowiedniodoosirzeczywistej[u(xjy)]iuro-
jonej[v(xjy)]–por.rysunek1.8–przecinająsiępodkątamiprostymi,sąwzajem-
nieortogonalne.Aletakbędziezawsze–dlakażdejfunkcjispełniającejwarunki
Cauchy’ego-Riemannakrzyweu(xjy)=constiv(xjy)=constsąortogonalne!
9Dodatkowymwarunkiemjestróżniczkowalnośćfunkcjiu(x,y)iv(x,y)wotoczeniupunktuz0.
Będziemyzakładali,żetenwarunekjestspełniony.
