Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
WarunkiCauchy’ego-Riemanna
Rysunek1.8:Ortogonalnerodzinykrzywychu(xjy)=const
iv(xjy)=constdlaf(z)=1/z
19
Jeżelibowiemwpunkcieprzecięciasiętakichkrzywychobliczyć
gradu(xjy)=ex
∂u
∂x
+ey
∂u
∂y
orazgradv(xjy)=ex
∂x
∂v
+ex
∂v
∂y
,tokątpomiędzy
stycznymidoprzecinającychsiękrzywychbędzierównykątowipomiędzyprosto-
padłymidonichwektoramigradientu.Tenostatnizaśjestrównyzeru,ponieważ
gradu·gradv=
∂u
∂x
∂x
∂v
+
∂u
∂y
∂v
∂y
C-R
=
∂u
∂x
∂x
∂v
−
∂x
∂v
∂u
∂x
=0.
PowróćmydopostacianalitycznejwarunkówCauchy’ego-Riemanna
∂u
∂x
=
∂v
∂y
j
∂u
∂y
=−
∂v
∂x
.
Różniczkująclewerównaniewzględemx,aprawewzględemy,anastępniedodając
obarównaniastronami,dostajemy
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
=0.
Powtarzającanalogicznerachunkimutatismutandis(różniczkująclewerównanie
względemy,aprawewzględemxiodejmującodlewegoprawe),mamy
∂x2
∂2v
+
∂y2
∂2v
=0.
Obieczęścifunkcjianalitycznej–rzeczywistaiurojona–spełniająrównanieLa-
place’a–sąsprzężonymifunkcjamiharmonicznymi.Trudnowtymmomencienie
pomyśleć,żezpunktuwidzeniafizyka,różniczkowalnefunkcjezmiennejzespo-
lonejstanowiąngotowe”rozwiązaniatego–byćmożenajbardziejpowszechnego
