Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
WarunkiCauchy’ego-Riemanna
21
2.Funkcjaf(z)=u(xjy)+iv(xjy)jestróżniczkowalnawpunkciez=x+iy,
wtedyitylkowtedyjeżeli:(1)funkcjeuiviichpochodneuxjuyjvxjvysą
ciągłewz;(2)spełnionesąwarunkiCauchy’ego-Riemanna
∂u
∂x
=
∂v
∂y
j
∂u
∂y
=−
∂x
∂v
.
3.Jeżelifunkcjaf(z)jestróżniczkowalnawotoczeniupunktuzo(takżewsa-
mymzo),tonazywamyjąanalityczną(takżeholomorficznąlubregularną)
wpunkciezo.
Naprzykładfunkcjaf(x)=|z|2mapochodną(tylko!)wpunkciez=0–
awięcniejestwtympunkcieanalityczna.
4.Funkcję,którajestanalitycznanacałejpłaszczyźniezespolonejCz(zwyjąt-
kiempunktuwnieskończoności)nazywamyfunkcjącałkowitą.Każdywielo-
mian
Wn(z)=ao+a1z+a2z
2+...+anzn
jestfunkcjącałkowitą.
5.Jeżelif(z)jestanalitycznawkażdymotoczeniupunktuzo,zwyjątkiemsa-
megozotopunktzonazywamyizolowanym(odosobnionym)punktemoso-
bliwymfunkcjif(z).Takimpunktembędzienaprzykładpunktz=0dla
funkcjif(z)=1/z.
Alefunkcjaf(x)=|z|2niemaodosobnionychpunktówosobliwych(bonigdzie
niejestanalityczna!).
6.Jeżelif(z)jestanalitycznawobszarzeDztojesttamciągła.
7.Suma,iloczyn,atakżeilorazfunkcjianalitycznych(jeżelitawmianowniku
/=0)sąanalityczne.
8.Funkcjaodwrotnadofunkcjianalitycznejjestanalityczna.Przypuśćmybo-
wiem,żew=f(z)jestanalitycznawobszarzeDzipochodna|f/(zo)|/=0
wotoczeniuzo∈Dz.Wówczaswotoczeniuwo=f(zo),punktunależącego
doobszaruDw–obrazuobszaruDzprzyodwzorowaniudanymfunkcją
f(z)–istnieje
z=o(w)=f11(w).
Funkcjaojestanalityczną(wpunkciewo);zauważmybowiem,żeabyistniała
funkcjaodwrotna,musimynrozwikłać”u(xjy)iv(xjy)abyuzyskaćx(ujv)
iy(ujv).Wymagatoabywyznacznik(jakobian)
|
|
|
|
|
uxuy
vxvy
|
|
|
|
|
=uxvy−vxuy
