Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
Funkcjezmiennejzespolonej
Mamyz=eio=cosθ+isinθ;z=cosθ−isinθ;
/
Γ1
zdz
=/
o
π
(cosθ−isinθ)(−sinθ+icosθ)dθ
=/
o
π
e
1ioieiodθ=πi.
Czytelnikzechcesprawdzić,żecałkawzdłużdolnegopółokręgu,awięckonturu
Γ2(θ∈[0j−π])będzierówna−πi.Jeżeliuwzględnimykierunkiobiegupoobu
półokręgach(dodatnidlakonturuΓ1,ujemnydlaΓ2)to,zgodniezwcześniejszymi
definicjami,całkapozamkniętymokręgujednostkowymzfunkcjif(z)=¯
zbędzie
równa2πi.
Jakokolejnyprzykładobliczmycałkępobokachtrójkątaprostokątnego0AB
zfunkcjif(z)=z2.CałkującpoprzeciwprostokątnejOBmamy
I1=/
o
B
z
2dz=...
Naodcinku0Bmamyx=2ystąd:
dz=(dx+idy)=(2+i)dy;atakże:
z2=x2−y2+i2xy=3y2+i4y2.
Przyczynekodtegoodcinkabędzierówny
I1=/
o
1
(3y2+i4y2)(2+i)dy=
2
3
+i
11
3
.
dz=(−sinθ+icosθ)dθ;
ikonsekwentnie
θ∈[0jπ]
Naprzyprostokątnych0AiABdostaniemyanalogicznie
I2=/
o
A
z
2dz+/
A
B
z
2dz=...
0A:z=x→dz=dxz2=x2
AB:z=2+iy→dz=idyz2=(2+iy)2
I2=/
o
2
x
2dx+/
o
1
(2+iy)2idy=...=
2
3
+i
11
3
.
I1=I2→I3=f
oABo
=0.
