Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
26
Funkcjezmiennejzespolonej
Wynikzależyodwybranejdrogi!Jeślitak,tocałkapopełnymkwadracienie
będziejużrównazeru.Cowięcej,drogaA0Cbędziewtymprzypadkuwykluczona
–całkowanafunkcjajestosobliwawpunkciez=0.
Zprzytoczonychprzykładówwidaćjasno,żepowinnoistniećjakieśkryterium,
któregospełnieniepowoduje,żewynikcałkowaniapokonturzezamkniętymjest
równyzeru.Kryteriumtakieistnieje,jestbardzoproste,alenatyleważne,że
zasługujenaosobny(następny)podrozdział.
1.7
TwierdzeniecałkoweCauchy’ego
Zanalizypolawektorowegowiemy,żecałkakrzywoliniowazwektora,wzdłużza-
mkniętegokonturu,równajestcałcepowierzchniowej,popowierzchnizawartejwe-
wnątrzkonturucałkowania,zeskładowejrotacjitegożwektora–składowejpro-
stopadłejdopłaszczyzny,wktórejleżykonturcałkowania.Totwierdzenienosi
nazwętwierdzenieStokesa–skorzystamyzniegoprzyobliczaniucałekpokontu-
rachzamkniętychnapłaszczyźniezespolonej.Składowąrotacjiwektorabędzietu
oczywiścieskładowaz-owa–wzórStokesaprzyjmiepostać
f
Γ
a·ds=f
Γ
axdx+aydy=//
Σ
(rota)zdσ=//
Σ(
∂ay
∂x
−
∂ax
∂y)dσ.
Przekształćmywedługtegowzorunaszącałkę
f
Γ
f(z)dz=f
Γ
[u(xjy)+iv(xjy)][dx+idy]
=f
Γ
[u(xjy)dx−v(xjy)dy]+if
Γ
[v(xjy)dx+u(xjy)dy].
Obiecałki–woparciuowzórStokesa–będąrównezeru!Mamybowiem
f
Γ
[u(xjy)dx−v(xjy)dy]=//
Σ(
∂(−v)
∂x
−
∂u
∂y)dσ
C-R
=0;
f
Γ
[v(xjy)dx+u(xjy)dy]=//
Σ(
∂u
∂x
−
∂v
∂y)dσ
C-R
=0.
SkorzystaniezwarunkówCauchy’ego-Riemanna1owynikazanalitycznościfunkcji
f(z).Możemyzatemsformułować
TwierdzeniecałkoweCauchy’ego:Jeżelif(z)jestanalitycznawewszyst-
kichpunktachwewnętrznychzamkniętegokonturuΓ,atakżewewszystkichpunk-
tachsamegokonturu,tocałka
f
Γ
f(z)dz=0.
(1.33)
10Ten–dlanas,fizyków–bardzoprzekonywującywywódtwierdzeniacałkowegoCauchy’egoma
jednąwadę:oparciesięnawzorzeStokesawymagaciągłościpierwszychpochodnychux,uy,v7vy.
Istniejejednak(podanyprzezGoursata)dowódktóryteżjestbardzofizyczny,aktóryDrezygnuje”
ztegowymogu.ZainteresowanyCzytelnikznajdziegonp.wpodręcznikuArfkena.
