Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1.1.GRANICAFUNKCJI
1.1.17.Znaleźćnastępującegranice:
(a)lim
(c)lim
x→o
x→o
ln(1+x)
(1+x)α−1
x
x
,
,α∈R.
(b)lim
x→o
ax−1
x
,a>0,
1.1.18.Obliczyćnastępującegranice:
(a)lim
x→∞
(lnx)1/x,
(c)lim
(e)lim
x→o
x→o+
(cosx)1/sin
(sinx)1/lnx.
2x,
(b)lim
x→o+
xsinx,
(d)lim
x→∞
(ex−1)1/x,
1.1.19.Znaleźćnastępującegranice:
(a)lim
x→o
ln(1+3x+sin2x)+xex
sin2x+2arctg3x+3x2
,
(c)lim
x→o+
d1−e-x−d1−cosx
dsinx
,
(b)lim
x→o
lncosx
tgx2
,
(d)lim
x→o
(1+x2)ctgx.
1.1.20.Obliczyć
(a)lim
x→∞(tg
2x+1)
πx
1/x
,
(b)lim
x→∞
x(ln(1+
2)−ln
x
x
2).
5
1.1.21.Załóżmy,żelim
g(x)=0iżeistniejeliczbarzeczywistaαoraztakie
x→o+
liczbydodatniemiM,żem≤
f(x)
xα
≤Mwpewnymprawostronnymotoczeniu
zera.Wykazać,żejeśliαlim
g(x)lnx=γ,tolim
f(x)g(x)=eγ,przyczym,
x→o+
x→o+
jeśliγ=∞lubγ=−∞,toprzyjmujemye∞=∞oraze-∞=0.
1.1.22.Załóżmy,żelim
x→o
f(x)=1iżelim
x→o
g(x)=∞.Wykazać,żejeśli
x→o
lim
g(x)(f(x)−1)=γ,tolim
x→o
f(x)g(x)=eγ.
1.1.23.Obliczyćnastępującegranice
(a)lim
x→o+(2sin√x+√xsin
x)
1
x
,
(b)lim
x→o(1+xe-1/x2sin
x4)
1
e1/x
2
,
(c)lim
x→o(1+e-1/x2arctg
x2
1
+xe-1/x
2
sin
x4)
1
e1/x
2
.
1.1.24.Niechf:[0,+∞)→Rbędzietakąfunkcją,żedlakażdegoa≥0granica
n→∞
lim
f(a+n)istniejeijestrównazero.Czywynikastąd,żeistniejegranica
x→∞
lim
f(x)?
