Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
ZADANIA•1.GRANICAICIĄGŁOŚĆFUNKCJI
ponadtof(0)>0iniechpbędzieustalonąliczbąnaturalną.Udowodnić,że
jeślimpjestnajmniejsząliczbąnaturalnątaką,żefmp(0)>p,to
mp
p
≤lim
n→∞
fn(0)
n
≤lim
n→∞
fn(0)
n
≤
mp
p
+
1+f(0)
mp
.
1.1.42.Niechf:R→Rbędzietakąfunkcjąrosnącą,żex→f(x)−xjest
funkcjąokresowąookresie1iniechfnoznaczan-tąiteracjęfunkcjif.Wykazać,
żeistniejegranicalim
n→∞
fn(x)
n
ijejwartośćniezależyodx∈R.
1.2WŁASNOŚCIFUNKCJICIĄGŁYCH
1.2.1.Znaleźćzbiórpunktówciągłościfunkcjif:R→Rokreślonejwzorem
f(x)={
0,
sin|x|,
jeślixjestliczbąniewymierną,
jeślixjestliczbąwymierną.
1.2.2.Zbadaćwjakichpunktachosirzeczywistejciągłajestfunkcjaokreślona
wzorem
f(x)={
x2−1,
0,
jeślixjestliczbąniewymierną,
jeślixjestliczbąwymierną.
1.2.3.Zbadaćciągłośćnastępującychfunkcji:
(a)f(x)=
(
'
{
'
L
0,
1/q,
jeślixjestliczbąniewymiernąlubx=0,
jeślix=p/q,p∈Z,q∈Noraz
p,qsąwzględniepierwsze,
(b)f(x)=
(
'
{
'
L
|x|,
qx/(q+1),
jeślixjestliczbąniewymiernąlubx=0,
jeślix=p/q,p∈Z,q∈Noraz
p,qsąwzględniepierwsze.
(Funkcjaokreślonawczęści(a)jestnazywanafunkcjąRiemanna).
1.2.4.Wykazać,żejeślif∈C([a,b]),torównież|f|∈C([a,b]).Podaćprzykład
świadczącyotym,żetwierdzenieodwrotneniejestprawdziwe.
1.2.5.Zbadaćdlajakichwartościan,bn∈Rfunkcjaokreślonawzorem
f(x)={
an+sinπx
bn+cosπx
dlax∈[2n,2n+1],n∈Z,
dlax∈(2n−1,2n),n∈Z
jestciągła.
1.2.6.Niechf(x)=[x2]sinπx,x∈R.Wykazać,żefunkcjafjestciągłanaR.
